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中图分类号： O 175.14文献标识码： A
文章编号：1004-4337(2000)04-0289-03
定理1若给条件组
其中，p、Q∈C，f、g、ω∈c,n为正整数，且n≠0、1，则可构造出可积的Bernoulli(伯努利)型微分方程：
f(x)ω(y)y+［P(G(x))G(x)f(x)+f(x)］ω(y)
=Q(G(x))G(x)［f(x)ω(y)+g(x)］n-P(G(x)G(x)g(x)-g(x)(3)
且它的通积分为：
(4)
这里t=G(x),c为任意常数。
证明我们只需将双变换(2)代入可积的Bernoulli方程(1)中，经整理，即可构造出可积的Bernoulli型微分方程(3)。
反过来，先将Bernoulli型方程(3)变形为：
(5)
再作双变换：
u(t)=f(x)ω(y)+g(x), t=G(x)(6)
此时(5)变形为：
这已是可积的Bernoulli方法，因它的通解为：
(7)
再由双变换(6)与(7)，即得(3)的通积分为(4)。
注：很明显，定理1的后一部分是文献［1］中Bernoulli方程的推广。
定理2若给定条件组
其中，ω、f、g、φ、G∈c,且ω(y)≠const,G(x)≠0,a≠0,n≠1,则可构造出可积的Clairaut(克莱罗)型微分方程：
(10)
且其参数式通积分为：
这里
这里p为参数，c为任意常数。
证明由文献［2］的推论点2.3，可知(8)为可积的Clairaut型微分方程，因此将双变换(9)代入(8)，经整理，即可构造出可积的Clairaut型微分方程(10)。
反过来，先将Clairaut型方程(10)变形为：
(13)
作双变换：
η(ζ)=f(x)ω(y)+g(x),ζ=G(x)(14)
此时(13)变形为：
η=ζη+aζnφ(η＇)(15)
这已是文献［2］中推论2.3研究的可积的Clairaut型方程，知它的参数式通解为：
其中，
这里p为参数，c为任意常数。
再利用双变换(14)，即得(10)的参数式通积分为(11)，(12)。
注：定理2中的后一部分，当G(x)=x,f(x)≡1,ω(y)视为f(x)时，即是文献［2］定理2.2所研究的情形。
定理3若给定条件组
其中p、q∈c,ω、G∈c,q≠0,m、n为非零常数，则可构造出可积的Riccati(黎卡提)型微分方程：
ω’(y)y+p(x)ω(y)=q(G(x)G(x)e∫pG(x)dG(x)-∫p(x)dx{me2∫p(x)dt［ω(y)］2+n}(18)
且其通积分为：
①当mn＞0时
(19)
②当mn＜0时
(20)
其中，c1、c2为任意常数
证明由文献［3］定理4的证明中知(16)是可积的特殊的Riccati方程，因而将(17)代入(16)整理后，即可构造出可积的Riccati型方法(18)。
反过来，先将Riccati型方程(18)变形为：
(21)
作双变换：
u(t)=e∫p(t)dtω(y),t=G(x)(22)
方程(21)变形为：
(23)
由文献［3］定理四的证明中知(23)的通积分为：
① 当mn＞0时，有
② 当mn＜0时，有
再利用双变换(22)，即可得到方程(18)的通积分为(19)与(20)。
注：定理3的后一部分，当G(x)=φ，视ω(y)为y时，即是文献［3］中定理4研究的情形。
定理4若给定条件组
其中，G∈cn-1,f、ω、φ∈cn,G≠0,f≠0,ω≠const,ai=const,i=1,2,3……，n,且约定a0=1，则可构造出可积的n阶微分方程：
(26)
它可经双变换(25)，化为可积的常系数线性微分方程(24)。
证明将(25)代入可积的高阶常系数线性微分方程(24)，即可构造出可积的高阶变系数非线性微分方程(26)。
反过来，应用双变换：
u(t)=f(x)ω(y)+φ(x),t=∫G(x)dx(27)
(28)
将(28)代入(26)可得(29)
(29)已是可积的n阶常数系数线性微分方程。再由双变换(27)，可知n阶变系数非线性微分方程(26)可积。
当定理4中的n=4时，并由(28)可得
推论若给定条件组
其中，G∈c3,f、ω、φ∈c4,f=f(x)≠0,φ=φ(x)≠0,G=G(x),ω(y)≠const,au=const,i=1,2,3,4，则可构造出可积的四阶变系数非线性微分方程：
