摘要描述了肺毛细血管中血液氧合过程的反应扩散方程组解的渐近性态，并给出当Z→+∞时，解趋于稳态解的速度。

中图分类号：O 242.1文献标识码：A

文章编号：1004-4337(2000)03-0203-03

1引言

本文考虑如下方程组：

这是描述血液在肺毛细血管中氧合过程的方程组^［1］，其中C₁、C₂、C₃、C₄、C₅分别表示O₂、HbO₂、CO₂、HbNHCOOH、Hb在肺毛细血管中的浓度，D_O、D_C、D_H分别表示O₂、CO₂、Hb的扩散系数，Q表示血流速度，K₁、K₂、m₁、m₂是两个可逆化学反应的反应速度，a表示血管半径。

把血管看成对称的，因此

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另外，由于O₂、CO₂容易透过呼吸膜，可以认为当x=a时，O₂、CO₂的浓度与肺泡中浓度相等，即

(7)

其中C_ialv是已知常数。又因为大分子的Hb、HbO₂、HbNHCOOH不能透过呼吸膜，因此

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初始条件由静脉血中生理参数确定：

(9)

当Z→+∞时，定解问题(1)～(9)的平衡解为^［1］：

平均解C_iart(i=1,2,3,4,5)分别表示血液流出肺毛细血管进入动脉时，O₂、HbO₂、CO₂、HbNHCOOH、Hb的浓度，其中H是常数，表示单位体积中化学结合的血红蛋白与自由血红蛋白的总量。

Wei Feng在文献［2］中讨论了(1)～(9)解的存在性，在文献［3］中讨论了(1)～(5)在边界条件都是Dirichlet条件或都是Robin条件时解的渐近性态，但实际问题不满足这样的边界条件，为了实际应用的需要，本文讨论(1)～(9)的渐近性态。

定理如果对于,其中a是血管半径，ω＞0常数，存在正常数r₁、r₂、r₃、r₄、r₅，使得

成立，其中C_iart为稳态解(Is)，则存在常数ε^*＞0，α^*＞0,只要0＜ε＜ε^*,α＞α^*，且

(1)～(9)存在唯一解C=(C₁,C₂,C₃,C₄,C₅)满足

定理说明当初值在稳态解附近时，解也在稳态解附近，且当Z→+∞时，解一致趋于稳态解。

推论对于,其中a是血管半径，ω＞0,存在正常数K^*₁、m^*₁、ε^*、α^*,只要0＜K₁＜K^*₁,0＜m₁＜m^*₁,0＜ε＜ε^*,α＞α^*，初值满足

(1)～(9)存在唯一解C=(C₁,C₂,C₃,C₄,C₅)满足

本文定理是对文献［3］的补充，推论是对文献［2］中定理3的部分推广。由本文的结论，可以从理论上证明文献［1］中线性模型是合理的，并且可以把线性模型推广到非线性模型，详细讨论见文献［4］，因此本文结论具有一定的应用价值。

2定理的证明

定义对某个常数Z＞0，如果两个向量函数上满足下列微分不等式：

在边界上满足

初值满足

则称是(1)～(9)的一对上下解。

引理1若是(1)～(9)的一对上下解，则(1)～(9)在(0，Z］×［0,a］上存在唯一解C满足：

引理1可以从一般的抛物型方程组的存在比较定理推出。

下面具体构造(1)～(9)的一对上下解。假定定理条件成立，记作函数

其中ε＜ε^*,α＞α^*

可以验证，与是定解问题(1)～(9)的一对上下解，由引理1，存在唯一解C=(C₁,C₂,C₃,C₄,C₅)满足

引理2如果对于,其中a是血管半径，ω＞0是常数，问题(1)～(9)中生理参数满足

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那么存在正常数r₁、r₂、r₃、r₄、r₅,<