摘要：讨论了Fitzhugh-Nagumo方程的周期初值问题，用Galerkin方法证明了整体解的存在唯一性。

中图分类号：O 241.81

文章编号：1004-4337(2000)01-0013-02▲

1引言

近年来人们对描述神经脉冲传导的Fitzhugh-Nagumo方程

u_t=u_xx+f(u)-v(1)

v_t=σu-γv(2)

其中σ，γ＞0是已知常数，f是已知实函数，进行了许多研究。如文献［1～4］讨论了方程行波解、周期平面波解的存在性，文献［5］讨论了方程初边值问题的整体存在性等。本文讨论方程(1)、(2)及其周期初值问题。

u(x+2D,t)=u(x,t),v(x+2D,t)=v(x,t)(3)

u(x,0)=u₀(x),v(x,0)=v(x)(4)

我们用Galerkin方法证明了问题(1)～(4)整体解的存在唯一性。为了后面的讨论，我们先引入下面的记号：

令Ω=［0,2D］,L²_p(Ω)表示以2D为周期Ω上的平方可积函数空间，其内积和范数分别为：

H^m_p(Ω)表示以2D为周期的m阶Sobolev空间，用‖·‖_m表示其范数。

2主要结果及其证明

设{_k(x)}是问题

-_kxx=λ_kk,_k(x+2D)=_k(x)

的特征函数所构成的规范正交完备系，N是任意正整数，S_N=span{_k(x)|k≤N},记问题(1)～(4)的近似解为：

那么由Galerkin方法，u_N,v_N应满足下面的常微分方程组

(u_Nt-u_Nxx-f(u_N)+v_N,)=0;(5)

(v_Nt+γv_N-σu_N,)=0,∈S_N(6)

α_kN(0)=a_kN,β_kN(0)=b_kN,k≤N(7)

初值a_kN,b_kN的选择应该使得在空间H¹_p(Ω)中有

u_N(0)→u₀,v_N(0)→v₀,当N→+∞时(8)

由常微分方程理论，方程组(5)～(7)存在唯一局部解u_N,v_N。下面我们对u_N,v_N作一致的先验估计。

引理1假设f∈c²,f(0)=0,f′(0)=-a＜0,=-∞,那么对近似解u_N,v_N有下面的估计式成立：

其中a₀,M₀是与N无关的常数。

证明在(5)式中令=σu_N,在(6)式中令=v_N，相加有

(9)

由对f的假设可知f可写成f(u)=-au+u²f₁(u),并且

于是uf₁(u)的上确界M₁≥0,且存在常数M₂＞0，使得当‖u‖≥M₂时，uf₁(u)≤0。因此有

(f(u_N),u_N)=-a‖u_N‖²+(u_Nf₁(u_N),u²_N)≤-a‖u_N‖²+2DM₁M²₂

将上式代入(9)式并记M₀=4DM₁M²₂有

(10)

令a₀=min{a,γ},对(10)式用Gronwall不等式可得引理中第一式，再直接对(10)式积分即完成引理证明。

引理2假设引理1的条件成立，且|f₁(u)|≤A|u|+B,那么对问题(4)～(6)的解u_N,v_N有下面的估计式

其中C_i是只与A、B、D、σ有关的常数。

证明在(5)式中令=-σu_Nxx,在(6)式中令=-v_Nxx,并利用琴生不等式和Sobolev不等式有

对上式用Gronwall不等式并利用引理1的结果即完成本引理的证明。

注意到上面估计式中的各常数均与N无关，因此由紧致性原理立即有：

定理1假设引理2的条件成立，且u₀,v₀∈H¹_p(Ω),那么问题(1)～(4)存在整体解u(x,t)和v(x,t)，并且

u∈L^∞(R⁺;H¹_p(Ω))∩L²(0,T;H²_p(Ω)),

v∈L^∞(R⁺;H¹_p(Ω))∩L²(0,T;H¹_p(Ω))。

推论在定理1的假设下有

‖u‖_∞+‖v‖_∞≤c,t＞0

其中c是与‖u₀‖₁,‖v₀‖₁有关与t无关的常数。

定理2在定理2.1的条件下，问题(1)～(4)的整体解是唯一的。

证明设u₁,v₁和u₂,v₂都是问题(1)～(4)的解，令

=u₁-u₂,=v₁-v