摘要分析了疾病暴发流行过程的特点，从理论上探讨了疾病暴发流行过程的寿命周期曲线及生长曲线，论证了寿命周期曲线的关系及其特点。通过大量模拟计算找到了适于描述疾病暴发流行过程的生长曲线的具体解析式费尔哈斯(Verhulst)模型，用此模型导出了疾病暴发流行的寿命周期曲线表达式。

1问题的提出

当某种疾病在某一地点或地区暴发流行时，在现场，流行病学医师首先应当立即判断本次流行处于什么阶段，同时还必须推算暴露日期，一方面为寻找传染源或致病原因提供依据，更重要的方面是根据暴发流行所处的阶段及时采取相应的控制措施。判断暴发流行所处的阶段，以往必须根据流行曲线的全貌才能做出判断。而实际情况常常是到达现场时，还不能获取流行曲线的全貌，一般仅知其曲线的前一部分。为在作暴发流行现场调查的同时准确及时判定流行阶段，从而及时有效地制定防治措施，必须用数学方法深入分析暴发流行过程，制定出切实可行的判断指标。

2疾病暴发流行的寿命周期及其判定的一般方法

疾病暴发流行的寿命周期是指一种疾病从首例发生开始到流行前期、流行高峰、流行后期直到流行终止的全过程。这个过程一般表现为已知一定时间间隔的某特定人群某病的发病数(或率)，即已知时间为：

t₁＜t₂＜…＜t_n时对应的发病数(或率)为：

Y₁,Y₂,…,Y_n它们的关系假设可用函数Y=f(t)表示，则该函数所表示的曲线称为该次暴发流行的寿命周期曲线，将其化分为几个阶段：

2.1成长期若Y=f(t)可导，当t满足f(t)＞0,f＂(t)＞0时，或发病数(率)表现为离散状况，若一阶及二阶向差分为正，即有△Y_i=Y_i-Y_i-1＞0i=2,3,…,n

△²Y_i=Y_i-2Y_i-1+Y_i-2＞0i=3,4,…,n在此阶段只有少数几个病例，但发病数的增长率很大，曲线上升且向上凹。

2.2高峰前期此期t满足f(t)＞0,且f＂(t)＜0，或离散状况时△Y_i＞0，△²Y_i＜0，此阶段发病数继续大量增加，但因接近发病最高峰，其发病数增长率逐渐减少，曲线仍上升但向下凹。

2.3高峰后期此时t满足f(t)＜0,且f＂(t)＜0；或离散状况时△Y_i＜0且△²Y_i＜0。此时发病高峰已过，发病数逐渐减少，曲线开始下降且向下凹。

2.4衰亡期当时期t满足f(t)＜0,且f＂(t)＞0，或离散状况时△Y_i＜0且△²Y_i＞0。

2.5高峰期高峰前期和高峰后期又称为疾病暴发流行的高峰期。高峰期的始点为Y=f(x)的一个捌点，满足f(t)＞0,且f＂(t)=0；高峰期的中点为Y=f(x)的极大值点，满足f(t)=0,且f＂(t)＜0；高峰的终点为Y=f(x)的另一个捌点，满足f(t)＜0且f＂(t)=0。

恰到时机地采取有效的防治措施，往往是控制疾病的关键。因此必须明确划分疾病处不同寿命周期的特征，以便确定该疾病当前所处寿命周期的位置。远见卓识的流行病学医师，在疾病暴发流行的成长期就会及时采取措施，使流行终止。若在衰落期才发现疫情，则没必要花费人为干预来控制疫情了。

3疾病暴发流行寿命周期曲线与生长曲线的关系

如果已知某疾病暴发流行的寿命周期曲线为f(x)，则该疾病到某一时刻t为止的累计发病数就可求得该累计发病数为寿命周期曲线在区间(-∞,t)上的定积分，即不妨形象地称F(t)为疾病暴发流行的生长曲线。

对于一次疾病暴发流行的发展，有两种表现形式生长曲线和寿命周期曲线。在现场中主要应用寿命周期曲线，但研究其生长曲线的形式可以对寿命周期的参数估计简化，因，故知道了有关F(t)的参数，f(t)的有关参数便可得到。

生长曲线与寿命周期曲线各有其确定的含义，只要知道了其中一种表现形式，就完全定量地得到另一种表现形式，它们是同一事物发展过程的两种表现形式，因此，可以得出如下结论：

3.1疾病暴发流行的寿命周期曲线与生长曲线可以相互表示

若已知寿命周期曲线f(t)，则其生长曲线为：反之，若知道其生长曲线F(t)，则其寿命周期曲线为：f(t)=F(t)。

3.2疾病暴发流行的生长曲线的捌点就是其寿命周期曲线的极大值点。

4疾病暴发流行时某时刻的理论患者数

对于病程较短的疾病在暴发或较长时间的传播流行时，任何时间都可能有新病例出现，又有老病例愈痊或死亡。若已知某疾病暴发流行的寿命曲线f(t)及该疾病的平均病程a，则t时刻该病理论患者数可表示为f(t)在［t-a,t］上的定积分，即：

5暴露时间的推算

对于同源性一次暴发，只要知道其暴发的寿命周期曲线f(t)，求出f(t)的极大值点t_i,由t_i向前推一个该病的平均潜伏期便是暴露日期。

6疾病暴发流行周命周期曲线的解析表达及其周期位置划分

由于F(t)=t-∞f(t)dt，所以只要求出生长曲线F(t)，对其求导便是f(t)，经过大量的数学模拟筛选，发现费尔哈斯模型能正确地描述疾病暴发流行过程，对费氏模型求导，便可得到寿命周期曲线f(t)。费氏模型以往用于生物生长过程的描述。对疾病暴发流行时间曲线大量反复研究发现，其过程的发展往往与生物生长过程类似，也经历发生、发展、成熟和衰亡四个阶段，而每个阶段的发展速度很不相同，整个曲线呈“S”型。因而，只要条件许可，便可用费氏曲线描述疾病暴发流行过程。

6.1疾病暴发流行过程的生长曲线的表达

这里费氏模型用微分方程

dy/ydt=a-by来表示，其中dy/dt表示y的增长率，a,b是模型的参数。此方程的意义是：当积累病例数y很小时，a-by=a，这时y按增长速度ay发展，随着y的增大，a-by减小，使y的增长速度先增加而后减少，当a-by=0时，增长速度为0，记，称k为发展极限。因而，a,b,k均为正值，取负值不符合原有含义。解以上微分方程，得其解为；

(1)

其中，t=0时,y=y₀。为形象化，称上式为疾病暴发流行过程的生长曲线模型。

6.2疾病暴发流行生长曲线模型使用的必要条件

设对已知序列

t₀＜t₁＜…＜t_n

y₀＜y₁＜…＜y_n上面微分方程右边对任意的y_i都有：

a-by_i＞0,i=0,1,…,n当i增大时，y_i增大，因而a-by_i减少，方程dy/ydt=a-by的左边亦随y增大而减少，即有条件

令△y_i=y_i=y_i-1,△y_i+1=y_i+1-y_i整理得：

上式便是疾病暴发流行生长曲线应用时应遵循的必要条件。因此可见，若某疾病暴发流行的时间序列数据全部符合必要条件，则用此模型比较合适；如果有不符合条件的点，则可能造成k为负值，使解无实际意义。在实际应用时，只有大多数点满足条件，使用效果才较好。

6.3确定参数的方法

确定生长曲线的参数a,b,k的方法很多，有积分法、差分法、回归法、三点法等，这里用积分法。方法如下：

已知数据：

t₀＜t₁＜…＜t_n，

y₀＜y₁＜…＜y_n，由生长曲线模型(1)，令b=(k-y₀)/y₀得

即：dy=aydt-by²dt,两边从t_i-1到t_i积分得：

其中y_i=y(t_i),利用积分中值定理，上式可近似为：

其中△t_i=t_i-t_i-1,一般t_i以天、旬、月为单位，为简单起见，令△t_i=1，于是得：