【提要】目的本文提出无校正寿命表，并同Berkson-Gage寿命表作以比较。方法其构造，除在计算条件死亡概率时不作处于危险数校正外，与Berkson-Gage寿命表相同。结果两者都有还原性；前者有自相容性，后者没有；前者几乎无偏性，后者严重低估；前者比后者有效。结论建议用无校正寿命表取代Berkson-Gage寿命表。

The Berkson-Gage Life Table and the Unadjusted Life Table

Zhao Guolong,

Henan Medical University (450052) ,Zhengzhou

【Abstract】ObjectiveThis paper proposes the unadjusted life table and compares it with the Berkson-Gage life table.MethodsIts structure is the same as the Berkson-Gage life table except that the adjustment of the number at risk is omitted in calculating the conditional probability dying.ResultsThe unadjusted life table and the Berkson-Gage life table are both reducible.The former possesses the property of self-consistency but the latter does not.The former is almost unbiased but the latter strictly underestimated.And the former is more efficient than the latter.ConclusionThus it is suggested to use the unadjusted life table in place of the Berkson-Gage life table.

【Key words】CensorshipEfficiencyLife tableSelf-consistencySurvival rateUnbiasedness

Berkson-Gage寿命表^〔1-6〕早已为人们所熟知。它有两个要点：①由时间区间下限人数减去终检数的一半作校正。②生存率估计值被认为定位于区间上限。

然而在近年实践中发现，同时用Kaplan-Meier法和Berkson-Gage法就同一宗资料估计生存率，后者往往较低(详后)。既然前者被认为是渐近无偏的^〔7〕，后者难道是低估了?实践也显示，取消校正，后者升高。同时可证明，生存率估计值定位于区间中点。

本文首先取消校正，制成无校正寿命表，然后同Berkson-Gage寿命表作以比较。

无校正寿命表

设观测的样本为(T_I，Δ_I)，I=1，…，N，这里T_I是观测的时间，若Δ_I=1，T_I是死亡时间，Δ_I=0，终检时间，N是样本量。制作寿命表需4个步骤。

第1步，编排寿命表阶。将观测值排序得次序统计量(T′_I，Δ′_I)，T′₁＜…＜T′_N。由T′_N和时间区间宽度h得寿命表阶数

M=INT(T′_N/h)+1

这里0＜h＜T′_N，M≤N。由此列出i=1，…，M个寿命表阶。

第2步，数认属于第i阶的观测值数。由

i=INT(T′_I/h)+1

(1)

知T′_I属于第i阶。如此共有a_i个T′_I′s属于该阶。这包括d_i个死亡和a_i-d_i个终检值数，这里d_i是T′_I′s对应Δ′_I′s的和。

第3步，估计第i阶生存率。第j,j=1，…，i,阶处于危险数为

(2)

第i阶生存率估计为

(3)

第4步，确定时间点。(1)可写成INT(T_I′/h)=i-1。这是T_I′/h的整数部分，其小数部分为C_I=T_I′/h-INT(T_I′/h),C_I∈〔0，1)，故有

如此形成第i阶时间区间［(i-1)h,(i-0.5)h,ih)。设t_i-1=(i-1)h,t_mi=(i-0.5)h,t_i=ih得t₀=0,t_mi=(t_i-1+t_i),该区间亦可写成［t_i-1,t_mi,t_i)。将C_I的期望看作E(C_I)=0.5，得T_I′的期望E(T_I′)=(i-0.5)h=t_mi。可见这种转换的机制是由a_i个T′_I′S(较小时间单位)经(1)得其期望t_mi(较大单位)。因此由(3)得到的是第i阶区间中点t_mi的生存率估计值

(4)

这就是无校正寿命表。它与Berkson-Gage寿命表

r_j=n_j-(a_j-d_j)的区别是取消了校正-(a_j-d_j)。

Kaplan-Meier寿命表

为了解无校正寿命表的性质，宜将它与Kaplan-Meier寿命表进行逐阶比较，对应采取4个步骤。

第1步，编排寿命表阶。时间区间宽度h在此成为时间单位转换系数h。取值相同，所得较大单位相同。经

i=INT(T′_I/h+0.5)

(5)

形成i=1，…，M个寿命表阶。

第2步，计算各阶观测值重合数。由(5)知T′_I属第i阶。如此属该阶的T′_I′S共有a_i个，包括d_i个死亡和a_i-d_i个终检值数。

第3步，估计第i阶生存率。由

(6)

得第i阶Kaplan-Meier估计值。

第4步，确定时间点。(5)是T_I′/h+0.5的整数部分，其小数部分是C_I=T_I′/h+0.5-INT(T_I′/h+0.5)，C_I∈［0，1)，故有T_I′=(i+C_I-0.5)h。以E(C_I)=0.5得E(T_I′)=ih=t_i。因此_i定位于时间点t_i：(t_i)=_i。这就是有重合生存资料Kaplan-Meier寿命表。

由无重合转换成有重合的机制是由a_i个T′_I′S(较小时间单位)经(5)得其期望t_i(较大单位)。这与纳入时间区间的机制相同，由

得第i阶区间［(i-0.5)h,ih,(i+0.5)h。可见，所确定的时间点正是区间中点。其前半与无校正寿命表区间后半重合。为便于比较，按

(7)

得t_mi点的近似值。在无终检和均匀分布时，(7)是精确等式，且有_Z(t_mi)=(t_mi)，证明从略。

至此，无校正估计值定位于区间中点｛t_mi｝的依据有①Kaplan-Meier估计值对应的时间点是区间中点，无校正估计值也应如此，由于有重合样本的形成与时间区间<