【提要】目的探讨对于具有两个水平层次结构的数据拟合方差成份模型与线性回归模型的关系。方法通过三类传统线性回归模型与两水平方差成份模型参数估计的对比，分析其内在联系。结果线性回归模型参数估计以及估计的稳定性与自变量在水平2单位间和水平2单位内的变异大小有关，线性因归模型与方差成分模型参数估计及其稳定性的关系与水平2残差方差或单位内相关系数大小有关。结论当数据具有层次结构特征时，三类线性回归模型均存在问题，方差成分模型可将线性回归模型的单一随机误差项分解到与数据层次结构相对应的各水平上，并估计水平2单位的随机效应。

Research into the relationship between the 2 level variance component model and the linear regression models.

Li Xiaosong,Ni Zongzan.

Department of Health Statistics,West China Universith of Medical Sciences(Chengdu 610041)

【Abstract】Objectiveto explore the relationship between the variance component model and the linear regression models in fitting 2 level hierarchically-structured data.Methodsby comparative analysis for the parameter estimates between three linear regression mdels and 2 level variance component moddel.Resultsthe parameter estimates and it's stability of linear regression models is associated with the variation of explanatory variable between and within level 2units,and the relationship of parameter estimates and it's stability between linear regression models and variance component model is associated with level 2 residual variance or intatra-unit correlation.Conclusionthe three linear regression models are inappropriate whten data are hierarchically structured,and both the single random error term of linear regression model can be decomposed into corresponding levels of hierarchical structure,and the randowm effects of level 2 units can be estimated by variance component model.

Key wordshierachically-structured data variance component model linear regression models intra-unit correlation

多水平统计模型(multilevel statistical models)是英、美等发达国家教育学界80年代中后期发展起来的一门多元统计分析新技术，可有效处理传统多元统计方法难以分析的具有层次结构特征的数据(hierarchically structured data)，是目前国际上统计学研究中一个新兴而重要的领域^〔1〕。在临床医学，预防医学以及其它学科领域存在大量层次结构数据，因而多水平模型在这些领域具有广阔的应用前景。两水平方差成分模型是多水平模型中最基本的模型，而传统的线性回归模型仍是处理不具层次结构特征数据的有力工具。对两水平方差成分模型与各类传统线性回归模型之间内在联系的探讨，有助于对数据结构和多水平模型的认识和正确应用。

基本模型

现假定一具有两水平层次结构特征的数据，水平2单位为相应总体的随机样本。模型中有一个解释变量，y_ij、x_ij均为水平1变量，且β₁在水平2单位间不存在变异。以符号T_xx、T_yy、T_xy分别表示x、y以及x与y的总的离均差平方和、积和；A_xx、A_yy、A_xy分别表示x、y以及x与y的水平2单位间离均差平方和、积和；W_xx、W_yy、W_xy分别表示x、y以及x与y的水平2单位内离均差平方和、积和。

对于上述数据，我们可建立以下四类模型：水平1的合并模型、水平2的聚集模型、水平2单位的固定效应模型以及两水平方差成份模型。

1.水平1的合并模型

以水平1单位为分析的基本单位，即将水平1单位合并在一起，忽略水平2单位对反应变量的效应。模型可表达为：

j=1,2,…，m示水平2单位，i=1,2,…，n_j示水平1单位。括弧中的数字示模型编号，这里示模型1，以下同此。

根据最小二乘法原理，可得到模型参数及其方差的估计：

2.水平2的聚集模型

将水平1单位的特征包括反应变量和解释变量聚集为相应的水平2单位的特征，即计算各水平2单位所属的所有水平1单位的某种统计量如均数，以水平2单位为分析的基本单位。模型及其参数估计为：

3.水平2单位的固定效应模型

对每个水平2单位拟合固定参数β_oj，并假定一个普通的水平2单位内残差方差，该模型拟合m条平行的回归线。模型及其参数估计为：

4.两水平方差成分模型

基本的模型结构与模型假设为：

为随机变量，假定：=+u_0j

代入式(4)有：y_ij=+x_ij+u_0j+e_ij

这里，u_0j亦为随机变量：

u_0j～N(0，)

水平1残差e_ij即线性回归模型中通常的残差项，e_ij～N(0，)。

与传统线性回归模型不同的是，两水平方差成分模型具有两个残差项，它属模型随机部分的结构。

固定参数的估计为：

V为向量Y的协方差阵，这为分块对角阵，每个块对应于一个水平2单位：

根据线性代数原理，可得到V的逆阵为：

因此

式中：

相似地：

因此：

式中，和为加权的离均差平方和与积和，权重即为W_j。

讨论

1.线性回归模型参数估计间的联系

现定义一指标

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