第三军医大学学报1999年第21卷第3期

罗明奎樊爱军王开发

提要目的：两大样本比较问题，传统上对同方差正态情形可采用双样本t检验法，对非正态情形可采用非参数秩检验法；但对两小样本比较问题，若采用以上方法其可靠性较差。本研究旨在建立一种两小样本比较的统计处理方法。方法：假定(1)样本来自同方差正态总体(2)参数具有正态先验(3)在平方损失下，采用了经验Bayes方法。结果：建立了参数的Bayes估计及Bayes置信区间，并给出了两小样本比较的Bayes检验法则。结论：利用实例进一步说明了对两小样本问题经验Bayes方法较双样本t检验法具有更高可靠性。

关键词：Bayes估计Bayes置性区间Bayes检验法则

在许多医学实验中由于种种限制(如实验经费过于昂贵，病例罕见等)只能搜集到少量的样本，称作小样本，此时我们常常希望能通过两小样本去比较两个总体间是否有显著差异，称作两小样本比较问题。对于两小样本比较问题，我们不能简单地套用两大样本比较方法(如双样本t检验法，非参数秩检验法等)。小样本问题在实际中经常遇到，但在统计上却较难处理。近年来小样本问题成为统计学讨论的热门话题之一。随着经验Bayes方法的产生，小样本问题的讨论更趋活跃。本研究就两小样本比较问题介绍一种正态先验Bayes统计推断方法。

1Bayes思想追溯

Bayes统计起源于1763年，在本世纪二、三十年代对Bayes观点的讨论空前激烈，自1950年A.Wald统计判决理论产生后，Bayes方法成为统计判决理论的重要工具。到本世纪六、七十年代产生了经验Bayes方法。经验Bayes方法认为对一个实验问题采取什么样的行动不仅依赖于现有的样本信息(不在乎样本容量的大小)，而且还应当考虑样本中参数的某些先验信息以及采取行动所带来的损失大小。经验Bayes方法用于估计问题产生了经验Bayes估计，经验Bayes方法用于检验问题则产生了经验Bayes检验。

由于经验Bayes方法着眼于现有的样本而不象传统的统计方法那样将样本看着总体中无穷多样本的一部分去考虑，因此，经验Bayes方法更适用于小样本问题。同时经验Bayes方法需要利用参数的先验信息和考虑行动所带来的损失，这点也较能贴合小样本问题的实际。例如，要估计好转率，试验前根据经验对好转率取值的可能性有一个初步的认识，即为参数的先验信息；另外，一个估计值如果离真值较远则损失较大，一个估计值如果离真值较远则损失较大，根据Bayes思想可以看出，经验Bayes方法有如下要求：

1)样本的分布形式f(x,θ)已知，其中θ为未知参数；

2)确定出未知参数θ合理的先验分布H(θ)；

3)确定出行动d合理的损失函数L(d,θ)，其中d为样本的函数；

4)选择使后验平均损失最小的行动作为最终采取的行动。

2问题及方法

2.1两小样本比较问题

假定X₁，X₂，…X_m来自X服从正态分布N(θ₁，σ²)，Y₁，Y₂，…Y_n来自Y服从正态分布N(θ₂，σ²)，共中m,n均较小，问题是：

1)估计未知参数θ₁，θ₂；

2)检验假设：

(1)

2.2先验信息的确定

利用共轭先验方法，假定θ₁，θ₂具有如下先验分布：

相应的密度函数分别记为：

μ₁，τ²₁，μ₂，τ²₂可以用如下估计值近似替代：

假定以往有关X的k组小样本均值为：；以往有关Y的r组小样本值为：。

则

(2)

2.3损失函数的确定

对θ₁，θ₂的估计(行动)d₁(X)和d₂(Y)，采用平方损失

(3)

按照如上损失函数，将d₁(X)作为θ₁的估计，若d₁(X)与θ₁相差越大则损失越大，将d₂(Y)作为θ₂的估计，若d₂(Y)与θ₂相差越大则损失越大。

2.4θ₁，θ₂的Bayes估计

根据样本X，Y的分布及未知参数θ₁，θ₂的先验分布，可计算出在X₁，X₂，…X_m给定下θ₁的后验分布及在Y₁，Y₂，…Y_n给定下θ₂的后验分布。

因为

X_i|θ₁～N(θ₁，σ²)，相应的密度函数记为f(x_i;θ₁，σ²)，i=1,2,…,m

Y_j|θ₂～N(θ₂，σ²)，相应的密度函数记为f(y_j;θ₂，σ²)，j=1,2,…,n

从而

在给定(X₁，X₂，…X_m)=(x₁，x₂，…,x_m)的条件下θ₁的密度函数为

(4)

同理

在给定(Y₁，Y₂，…Y_n)=(y₁，y₂，…,y_n)的条件下θ₂的密度函数为

(5)

整理(4)式、(5)式知

(6)

其中

则d₁(X₁，X₂，…，X_m)作为θ₁的估计带来的后验风险R(d₁)，d₂(Y₁，Y₂，…，Y_n)作为θ₂的估计带来的后验风险R(d₂)有如下形式：

(7)

E_θi(·)表示在θ_i的后验分布下求数学期望，i=1,2。

可以证明当时R(d₁)达到最小，当时R(d₂)达到最小

即θ₁，θ₂的Bayes估计为：

(8)

这里μ₁，τ²₁，μ₂，τ²₂