摘要：目前国内进行的调查大都采用复杂抽样方案，但在分析时却常常采用只适用于简单随机样本的一般方法。本文论述了这样做可能产生的问题，同时介绍了用于复杂样本情形的Horvitz-Thompson估计量及改进的权数，并通过实例说明了计算方法及其合理性。

中图分类号：O212.2文献标识码：B

文章编号：1000-8020(2000)01-0061-03

Weights in Horvitz-Thompson statistic for complex samples

Xue Hesheng, Yang Gonghuan

（Center of Information,Chinese Academy of Preventive Medicine, Beijing100050, China）

Abstract：The problem of using ordinary statistical methods basically for simple random samples in analyzing data from complex surveys for non-simple random samples was discussed. Horvitz-Thompson statistic and the poststratification weights were introduced. Illustrative examples were given to show the validity and superiority of Horvitz-Thompson statistic in comparison with statistic used for simple random samples.

Key words：complex sampling, Horvitz-Thompson statistic, poststratification weights,bias

1问题的描述

复杂抽样指由分层、整群、多阶段等抽样技术组合构成的抽样方案。在现场调查中，由于一般不易得到由个体(末级单位)名单组成的抽样框，加上实际调查中具体操作的可行性、费用等方面原因，广泛使用复杂抽样方案。按这样的抽样方案抽到的样本称复杂样本，它们不同于简单随机抽样(SRS)样本：首先，样本空间所包含的样本数一般比SRS的少；其次，样本中最终抽到的各个个体的被抽中概率也常常是不同的。对这种非SRS样本，再套用一般SRS样本中所用的方法分析是不适当的。

例如，假定有一个含10个个体的总体，从中抽出含量为4个个体的样本，抽样的目的是为了估计总体均数。若用SRS，易知样本空间由210个可能的样本构成(从10个个体中抽取4个，有210种不同的抽法)，每个个体被抽中的概率是0.4。此时样本均数是总均数μ的无偏估计。现在假定将总体分为两个层，第1层含4个个体，第2层含6个，分别从2个层中依SRS各抽2个个体构成样本，则样本空间所含样本的个数变为90(第1层有6种抽法，第2层有15种抽法，结合起来有90种抽法)，第1层中个体被抽中概率为0.5，第2层中个体被抽中概率为0.3。记第1层4个个体的均数为μ₁，第2层6个个体的均数为μ₂，则有：μ=0.4μ₁+0.6μ₂。再记第1层样本的样本均数为₁，第2层样本的样本均数为₂，若按一般SRS样本中所用的方法求普通样本均数，则=0.5₁+0.5₂，其期望为：E()=0.5μ₁+0.5μ₂，易知，当μ₁≠μ₂时，的期望不等于μ。因此这种情况下样本均数不一定再是总体均数μ的无偏估计。

一般，若记总体含量为N，总体分为k层，第i层含量为N_i，它们的均数为μ_i，从第i层抽的子样本其含量为n_i，全样本含量为n=n₁+n₂+…+n_k,第i层子样本均数为_i，则有：=(n₁₁+n₂₂+n_kk)／n，其期望为：E()=(n₁μ₁+n₂μ₂+…+n_kμ_k)／n，它与μ=(N₁μ₁+N₂μ₂+…+N_kμ_k)／N不一定相等。

上面假想的例子只考虑了最简单的分层抽样情形，当然，此情形下只要将计算的式子改为=N₁₁／N+N₂₂／N+…+N_kk／N即可得到对μ的无偏估计。但实际上我们遇到的常常是更复杂的抽样方案，情形当然更复杂，结论是同样的：对这种非SRS样本，再套用一般SRS样本中所用的方法分析是不适当的。

2Horvitz-Thompson估计量

记复杂样本的含量为n，第i个个体观察值为X_i，第i个个体被抽中的概率为p_i,1／p_i=z_i,则对总体总值T的Horvitz-Thompson估计量为：tHT=∑x_iz_i；若我们对总体均数μ感兴趣，则μ的估计值为：mHT=∑x_iz_i／∑z_i，我们也称之为Horvitz-Thompson估计量：tHT和mHT都是无偏估计^［1］。tHT和mHT中的z_i称为概率权重，以区别于后面讲的后分层权重。Horvitz-Thompson估计量对观察值加权的目的是改善样本结构与总体结构的不一致问题，这种不一致是由抽样的不等概率造成的，故称之为概率权重。每一个个体的z_i可看为该个体所代表的人数，全样本的z_i加总，即为目标总体的人数。当所有z_i相等时，mHT的方差vHT最小。z_i的变化越大，VHT也越大，同样结论对tHT也成立。对含量为n的SRS样本，记总体含量为N，则所有的p_i都为n/N。此时μ的Horvitz-Thompson估计量为mHT=∑x_i(N/n)／∑(N／n)=N∑X_i／N²=，可见，在SRS样本情形，对总体均数μ的Horvitz-Thompson估计量与普通样本均数一致。但在非SRS样本情形，它们就不一定相同了。此时可能有偏，而mHT仍保持了无偏性，后者在现场调查中是很重要的。

现在一般把具有∑X_iw_i／∑w_i形式的估计量都称为horvitz-Thompson型估计量，估计量中权数w_i的计算，也不只是个体i被抽中概率的倒数，而同时考虑了不应答、缺失及抽样时的随机波动等的影响，称为后分层权重。后分层权重能在概率权重的基础上进一步改善估计量的无偏性，因为它同时考虑了抽样概率和不应答等的影响。同时，因为它校正了后分层变量的影响，它实际上可以用于SRS样本。后分层权重的计算方法是：

(1)根据每个个体的被抽中概率p_i计算概率权重z_i=1／p_i。

(2)将总人群依后分层变量分组，得到各组人数STD。

(3)将样本也同样分组，求出各组概率权重z_i总和SUMZ。

(4)对各组计算校正系数C=STD／SUMZ。

(5)对每个体计算后分层权重W_i=z_i×C。其中C为该个体所在组的校正系数。

3实例

3.1例1

数据来源：中国行为危险因素监测系统^［2］。从某城市内所有2136个的居委会中随机抽出240个居委会，再在每个被抽中的居委会中随机抽出20户居民，最后在被抽中的每户居民中随机抽取