摘要： 和传统的相位编码磁共振成像相比，小波编码磁共振成像可有效地降低吉布斯伪影和运动伪影，有效地缩短成像时间。本文介绍了一种基于自旋回波序列的哈尔小波编码磁共振成像的实施方案，该方案通过周密安排哈尔小波激发顺序，可在33秒内获得一幅256×256个像素的T₂加权投影像。

中图分类号：R318文献标识码：B文章编号：1005-202X（1999）03-0136－04

A scheme of wavelet-encoded MR imaging

GONG Ming , QI Xuan-huan

(Department of Medical Imaging , Jiangxi Medical College,Nanchang 330006,China)

Abstract：Compared with conventional phase encoding MR imaging, wavelet encoding MR imaging can reduce Gibbs artifact and sensitivity to motion and achieve a shorter imaging time. This paper describes a scheme of haar wavelet encoding MR imaging based on spin echo sequence, the scheme can acquire a Single-section 256×256 T₂-weighted projection image in 33 s by carefully arranging the haar wavelet encoding selective excitations.

Key words：MRI； wavelet encoding；haar wavelet

在目前的磁共振成像领域，绝大多数临床应用都是采用二维傅里叶变换来进行图像重建的。但是傅氏变换有其局限性，它所使用的基函数不是局域的，这就使得傅氏重建会把误定位信号扩展到整个图像。于是，随着小波理论的发展，基于自旋回波序列的小波编码MRI也很快于1992年被提出^[1]，用于取代传统的相位编码技术。

小波函数具有良好的空间局域性，因此和传统的相位编码MRI相比，小波编码MRI可有效地降低吉布斯伪影和运动伪影，缩短成像时间^[2]。

小波变换具有多分辨特性，利用这点，可进行自适应小波编码磁共振成像，例如，自适应多分辨图像重建技术可迅速重建低分辨图像，并以此来估计物体的运动情况,以便校准高分辨图像中的运动伪影^[3]；而自适应动态成像技术,可自动确定并精确分析那些发生了变化的FOV区域,而无需更新全部的图像数据^[4]。

此外，小波技术还可用于降噪、影像增强及多尺度边缘提取等众多方面，其潜在应用价值是巨大的，因此，自1992年以来，国外在小波编码磁共振成像领域开展了大量的研究工作，但迄今为止，尚未见到国内的研究报道。有鉴于此，本文将对小波编码MRI的一些基本情况作一简单介绍。

1小波变换基础

小波函数是一族函数,它是由某个基本函数ψ(x)经伸缩和平移得来的，即

式中，a为伸缩参数或尺度参数，它决定了小波函数的宽度；b为平移参数，它决定了小波函数所处的位置。在这里，基本函数ψ(x)必须满足一定的条件，其一是ψ(x)∈L²(R)，即小波函数具有有限的能量(平方可积)；其二是ψ(x)∈L(R)，即小波函数具有衰减性；其三是ψ(x)的傅氏变换ψ(ω)在ω=0的值为零，即表明ψ(ω)的带通性。

1.1连续小波变换

一个能量有限的实值函数f(x)的连续小波变换定义为

而且在基本函数ψ(x)的傅氏变换ψ(ω)满足允许条件

的情况下，函数f(x)可由W(a,b)重建。

尽管小波变换和窗口傅氏变换都属于时频局部化分析，但性质上却差别很大，窗口傅氏变换所采用的时频窗口具有相同的时宽和频宽，即窗口的大小和形状是固定不变的,它不能敏感地反映信号的突变,而信号的突变往往是自然界中的客观实体的区别所在；而小波变换则提供了一个可调的时频窗，当信号频率增大时(|a|减小),时宽将随之减小(时宽正比于2|a|)，频宽将随之增大，而且小波函数ψ_ab(x)的窗口中心也将向|ω|增大的方向移动，反之亦然。由于小波变换所具有的这种变焦特性，使得它在处理突变信号上具有明显优势，而且小波变换可对高频信号采取逐渐精细的时域或空域取样步长，从而使得它可以聚集到分析对象的任意细节。

1.2离散小波变换

在实际应用中，特别是在计算机实现上，往往需要把小波变换进行二进制离散，即取

a=2^-j，b= K^．2^-j

j = 0，…,log₂N－1 ；k = 0，1，…，2^j－1 ；

小波函数ψ_ab(x)也就变为

ψ_jk(x)=2^-j/2ψ(2^jx－k)

在这里，尺度j=log₂N－1时，小波函数的宽度最小,在传统的哈尔小波中只占据2个像素点；尺度j=0时，小波函数的宽度最大，它占据整个FOV区域。由于在每个尺度j上，平移参数都有2^j个取值，这样共存在着

个小波函数，另外再加上一个占据整个FOV区域的尺度函数φ₀(x) 。每一类小波函数都有一个与之相联系的尺度函数，而哈尔小波函数的尺度函数则是矩形函数。哈尔小波是最简单的小波函数，它可表示成

外加尺度函数φ₀(x)=1，x∈[0，1]，图1为N=8时的7个哈尔小波函数和1个尺度函数(矩形函数)。

图1N=8时的1个尺度函数和7个Haar小波函数

一个平方可积函数f(x)的离散小波变换可表示为

假定ψ_jk(x)和φ₀(x)构成L₂(R)上的一组规范正交基，f(x)∈L²(R)，则离散小波变换的逆变换可表示为

2小波编码磁共振成像

在小波编码MRI中，x方向仍然是频率编码，这点和二维傅氏变换MRI是一致的；但在y方向所施加的则是小波编码。基于自旋回波序列的单层面哈尔小波编码MRI可采用如图2所示的脉冲序列。

图2哈尔小波编码MRI脉冲序列

2.1小波激发的实施

在小波编码MRI中，每一次RF激发并不是针对整个层面的，而只针对层面内的部分自旋，而且这些被激发的自旋所承受的RF脉冲的强度沿y方向呈现小波状分布，我们把这种激发称之为小波激发。

小波激发是通过控制RF脉冲f(t)的形状，使得f(t)的傅氏变换呈现出小波状ψ_jk(ω)轮廓来实现的；而在施加RF脉冲的同时，沿y方向加上了梯度磁场G_y 。这样通过控制G_y的强度，就可以控制小波激发ψ_jk(ω)尺度，而通过控制RF脉冲的中心频率则可以决定小波激发ψ_jk(ω)所处的位置。以哈尔小波激发为例，通过选择合适的RF脉冲的波形、中心频率及G_y的强度,就可使得RF脉冲的频域或空域表示呈现图3所示的小波状。在这样的小波激发下,区间[1/2,3/4]内的自旋核和区间[3/4,1]内的自旋核所受到的RF脉冲的强度相同，但方向相反，因此总的信号强度就是它们各自产生的信号强度之差。

图3哈尔小波激发脉冲

2.2 图像重建

在哈尔小波编码MRI中，为重建一幅N×N个像素点的图像，需要N-1次哈尔小波激发和一次针对整个层面的sin c函数激发(RF的时域表示)或说矩形激发(RF的频域表示)，每次小波激发后都产生一个回波信号，该信号大小为