摘要： 本文利用分形几何学对医学图像边缘的增强和检测进行了应用研究。我们采用频域法对典型的医学图像—512×512的CT灰度图像计算它的分形维值。根据分形维值的变化来达到边界检测和增强的目的。结果表明，经处理过的图像与原图像相比较，不同结构的边界有了明显的增强，特别是对图像中的肿瘤结构能更好的识别出来，该方法的应用为医学图象处理和分析领域提供了新的手段和方法。

中图分类号：R814.42文献标识码：A文章编号：1005-202X(1999)03-0148－03

Application of the fractal theory on edge detecting and sharping of medical image

Lu Wen, Han Fengtan, Zhang Xiujuan,et al.

(Taishan medical college,Shandong mining collage,Taian,271000)

Abstract:This article tries to apply the fractal geometry on edge detecting and sharping of medical image.We use frequency methods to calculate fractal dimension of CT image (512×512),and depend on the change of fractal dimension to detect and sharp image edge.The result shows that structure edge has obviously sharped,comparing the processed image with the original,Specially for Cancer Structure.It's application supplies a new means for image process.

Key words:fractal theory;medical image;edge sharping and detecting

随着计算机技术的发展，医学图像已成为医疗诊断中一个非常重要的手段。X光片、B超、CT及核磁共振无一不是为医生提供人体器官的直观图像以供作病理诊断。医学图像之所以成为重要的诊断手段，就在于它能够区分不同的结构使其在图像上表现出具有不同的边界。但是在某些病理情况或由于一些客观原因，有些结构的边界非常模糊或不太明显，给诊断带来一定的困难。这时就要通过图像处理的方法来检测和增强图像的边界，将不同的结构区分开，以便于医生诊断。

分形理论是在非线性数学领域发展起来的一门新型学科，其一出现就在自然科学的各个领域得到广泛的应用。将其应用于医学图像的处理和识别是国内外学者近几年研究课题^[1]，本文尝试利用分形理论去处理医学图像。根据分形维的物理意义，对医学图像的边界检测和增强进行了研究，探讨其在这方面的应用价值。

1材料与方法

1.1材料

在我们的研究中，为集中讨论分形的方法，采用的是最典型的医学问题——521×512的CT灰度图像，以它作为我们的主要研究对象，实际上其它的医学图像与CT图像具有异曲同工之处，要将分形理论应用于它们，只要将其对CT图像的研究进行推广就可行之有效。

1.2原理

传统的几何学认为任何几何形状的维数都是整数，如点是零维，线是一维，平面是二维，立体是三维。而分形几何学提出了分数维的概念，认为很多几何形状均可能具有分数维数，而这个分数维即成为应用分形理论研究医学图像的主要参数—分形维(fractal dimension, Ds)^[2]。分形维Ds反映的是图象的粗糙度。不同的结构在其边界处灰度的变化不再连续，而是产生一个突变，这在视觉上的感受正是粗糙度的变化，也就是说利用分形维Ds的变化可能可以更好的反映边界情况。我们正是从这个考虑出发，采用频域法计算图像的分形维值，根据Ds值的变化来达到边界检测和增强的目的。

1.3计算方法

我们研究的512×512CT图像实际上是人体三维器官的二维图像，但在这些二维的图像中，不同的结构具有不同的灰度值，这实际上也是人体器官结构的三维信息之所在。如果对一幅512×512CT图像，我们以I(x,y)表示在坐标(x,y)处像素的灰度值，其中x,y为0～511之间的整数。我们可以将灰度平面上的每一个像素看作分数布朗运动(Fractional Brownian Motion,FBM)的结果，则I(x,y)是FBM的函数，该图像就具有分形特征。

频域法^[4]是以空间频率为标尺的，根据FBM函数的性质对二维空间有下述关系式：

(1)

其中s(f₁,f₂)为FBM的功率谱密度。H是FBM函数的参数，它反映了图像的粗糙度，Ds和H的关系为Ds=3-H。

对512×512灰度像素平面的坐标为(x,y)的像素P，欲求其分形维Ds，先建立以该像素为中心的8×8像素块，对该像素块进行二维FFT变换。二维离散Fourier变换对由下式给出：

(2)

其中f₁,f₂=0,1,…，N-1。对式(2)变形有：

(3)

其中

(4)

式中f₁,f₂=0,1,…，N-1。由式(4)可以看出，二维离散Fourier变换的计算可以以两步一维的离散Fourier变换进行。该步骤归纳于图1。首先沿F(x,y)的诸行取变换，然后沿着所得的结果的列取变换。

图1二维FFT变换分解为两步一维FFT变换

对上述的8×8像素块可应用两次一维FFT变换来得到二维FFT变换。其中每个像素的功率密度由下式定义：

s(f₁,f₂)=R²(f₁,f₂)+I²(f₁,f₂)(5)

式(5)中，R(f₁,f₂)和I(f₁,f₂)分别是F(f₁,f₂)的实部和虚部。这样，对8×8的像素块中的每一(f₁,f₂),f₁,f₂=0,1,…7，都可求出S(f₁,f₂)，然后根据式(1)得出：

lgS(f₁,f₂)=-(H+1)lg(f₁²+f₂²)(6)

应用最小二乘法可以估计出H值，再由Ds=3-H可得到像素P处的分形维值。这样也可以得到整个512×512图像中每个像素的分形维值Ds。然后将每个像素的Ds值按以下关系转换成灰度(0—255级)：

I=int(Ds/255)(7)

式(7)中int()表示取整数部分，I表示灰度，则我们得到的灰度图像是按分形维分布的灰度转换图像。

2实验结果

我们对多幅不同的512×512肺部CT图像运用频域法进行处理。原始图像见图2、3。其中图2为正常的肺部CT图像，图3为有早期肿瘤的肺部CT图像(其中肿瘤非常的不明显)。图4、5为相应的频域法对图2、3处理得到的分形维分布的灰度转换图像。

图2正常肺部CT图像图3带早期肿瘤的肺部CT图像

图4频域法对图1处理得到的分形维分布的灰度转换图像

5频域法对图2处理得到的形维分布的灰度转换图像

为了与其它的图象处理方法相比较，我们还同时应用sobel边界检测和增强算法对原始图象进行了处理，得到图5、6。通过这些图象与应用分形方法的图象的比较，可以具体的检验分形几何学方法的效果。

图6Sobel算子对图1处理得到的灰度图像

图7Sobel算子对图2处理得到的灰度图<