国外医学生物医学工程分册1999年第22卷第4期

田心综述 杨福生审

天津医科大学生物医学工程系（300070）

清华大学电机系（100084）

摘要 本文对近年来国外在脑电的非线性动力学研究中提出的问题进行了综述，内容涉及了脑电的非线性的证明，脑电不是低维的混沌，以及传统的脑电混沌参数估算中的主要弊病等。文中也介绍了针对以上问题的最新研究进展。

关键词 脑电 非线性动力学高维混沌 g－P算法的改进

1 前言

脑电（EEG）是经头皮诱导出来的脑神经细胞的电生理活动。脑电图作为一种重要辅助手段，在神经内外科领域对脑疾病的诊断、定位、估计预后等方面都有重要的参考价值。脑电是极为复杂的非周期生物电信号，对于脑电的研究始终是神经学科的一大热点。80年代中期以来，随着非线性动力学的发展，人们开始关注：脑电究竟是随机无序的，还是具有确定性的混沌信号？参否用非线性动力学的指标来表征脑电的动态特性？1985年，Babloyantz等人首先发表了人类睡眠Ⅱ和Ⅳ阶段的脑电是混浊这一研究成果^[1]。此后，大量的用非线性动力学方法研究脑电的结果报导，脑电是低维的混浊，其中的代表作有Rapp等人^[2]、Babloyantz^[3]、Roschke和Badar^[4]、Soong和Stuart^[5]。在以上的研究中，脑电的相关维数D₂是有限的分数，脑电的最大的李雅普诺夫指数λ₁为正。进一步的研究又报导了脑神经活动的不同状态可以用不同的混沌参数来鉴别，例如Fell等人的研究^[6.7]。随着研究的深入，从90年代开始，一些研究者开始对脑电的非线性进行了进一步的探讨，并对脑电是否是低维的混沌信号提出了疑问：还有一些研究提出了以往估算脑电混沌参数中的问题，例如，用传统的G－P算法^[8]来计算脑电的相关维数时的弊病。另一方面，近期的一些研究成果报导了针对以上问题在脑电的非线动力学研究中的最新进展。本文的目的在于介绍近年来关于脑电的非线性动力学研究中的问题、讨论和研究进展。

2 在脑电的非线性动力学研究中的问题

近年来，随着脑电的非线性动力学研究的深入，人们开始提出了一些问题，迄今为止这些问题主要以下几个方面。

首先，是脑电的非线性的论证。近年来一些研究发现，有限的分数维不仅仅只来自于混沌系数，也可能来自其它系统。例如1/f型的线性随机系统也有一个有限的分数相关维数^[9]。Rapp等人也推导了经过滤波的噪声可以模拟出类似脑电的动态系统[^10]。因此，仅仅从脑电具有有限分数维这一点还不能有力地证明脑神经系统的非线性。关于脑电是否源于非线性系统需要更为有力的证明。

接下来的问题是，脑电是源于一个低维的混沌系统还是对应于一个高维的混沌系统？以往对脑电的混沌学研究是以低维的混沌理论为基础，来估算它的D₂和λ₁。一旦关于脑电源自低维混沌系统的观点被否定，就不能简单地运用以往的理论和算法来估算D₂和λ₁了。其中典型的研究有：Theiler等人^[11]的研究表明脑电是非线性的，但不是低维混沌；Prichard等人^[12]证明了正常静息脑电不是低维的非线性系统：Theiler和Rapp也对脑电源自低维混沌系统提高了质疑。

第三问题是，传统的估计相关维数的G－P算法存在着一些弊病，其中最大的问题是G－P算法中在计算相关积分函数C（r）时，由于连续采样点之间的相关性造成了“虚假的低维结构”^[14]，从而在相关维数的估算中，显示不出实际存在的高维系统造成的C（r）—r图象的线性度差的弊端。这是造成了以往的研究中，普遍认为脑电是来源于低维混浊系统这一“误解”的原因。关于相关函数的估算中，另外的问题还有诸如G－P算法要求的数据量大，即估算出的D₂要满足D₂＜Dmax的条件^[15]，其中D_max=2logN/log(r_max/r_mid) (1)其中，N是数据点数，r_max是重构吸引子上两相邻点之间距离的最大值，r_mid是在计算范围中（即C（r）—r为直线的范围中）r的中值。

可见，对一个维数较高的估算值D₂，需要的数据点数N是很大的。在实际的测试中，特别是在病理状态下测得的脑电常常是一个较短的时间序列。因此，适合于从较短时间序列估算到的相关函数的新的算法是当前研究的方向之一。G－P算法的其它问题还在于，D₂的估算值对计算参数尤其是重构空间的嵌入维数d的依赖性很大，等等。

一个不合适的d值会构造出一个谬误的重构吸引子，或者造成运用低维系统理论去解析实际上是高维的系统而产生的错误^[16]。

为了进一步说明以上的问题，这儿我们介绍Theiler和Rapp在1996年发表的一篇质疑脑电是源自于低维混沌系统的有代表性的论文^[13]。

在该文中，他们用改进了的新算法重新估算了他们在1989年发现的110例健康人脑电的D₂估算值^[17]，在该文中，他们阐述了传统G－P算法的问题，提出了改进方法，并提出脑电不是低维混沌的结论。

在1989年的研究中，他们用传统的G－P方法估算了110例健康人在静息状态、逆序心算状态和顺序心算状态下的D₂的平均值，分别为D₂=4.0±1.4,4.7±1.0,4.1±1.5。在估算中，用传统的G－P算法，即

其中相关积分

（2）

式中，K=N～(d～1)τ，d为嵌人维数，τ为延迟步长，N为数据点数，N_p=K（K～1）/2是点对的数目。Θ是Heaviside函数。如果时间序列x(i)源自于低维的动态系统，那么logC(r)对logr的图象的直线性好；反之，直线性差的图象对应的就不再是一个低维系统^[17]。

1989年的研究中，他们得出的结论是脑电为源自低维混沌系统，用G－P算法估算出的D₂在静息状态下和逆心算状态下呈现出显著的统计学差异(t—检验时，p=0.015)。

在1996年的研究中，他们指出了1989年研究结果的问题，即D₂的估算值中有“虚假的”因素，这个谬误是来自于G－P算法中估算相关积分c(r)时连续采样造成对相关性的影响。为了避免这一弊病，在1996年的研究中，他们一方面重新定义了相关积分，使

（3）

其中，N_p=(K～B+1)(K～B)/2是使一对点i和j之间距离/i～j/≥B对应的点对的数目，从而避免了连续采样。另一方面，他们构造了新的序列Y_t来代替原始的脑电时间序列X_t进行D₂的估计，目的也是为了进一步去除原始数据中相关性的影响。文中，

Y_t=X_t-X_o+t(X_o-X_n)/N

其中，X_o为X_t为初始值，X_N为X_t为终值，t为采样时间间隔，N为采样点数。

用新的算法重新估算了1989年文中110例健康人的脑电的D₂值，得到的三个状态下的结果为：D₂=4.8±1.1,4.5±1.6,4.6±1.8。可见，在静息状态和逆心算状态下D₂值无明显统计学差别。除此之外，在新的估算中还暴露出另外两个问题：第一是在估算中logC(r)对logr图像的直线性差，显示出脑电不是低维的混沌系统；第二是其中有相当多的样本（46例）不合乎D₂＜D_max的检验条件。由此，他们得出了新的结论：原始脑电信号不能被证明是源自于低维的动态系统，G－P算法对脑电相关维数D₂的估算中带有“虚假质疑”的因素。在该文中他们进而又重新质疑了脑电的非线性，这些质疑和反思促进了对用混沌学分析脑电的以往工作的选用性和局限性的思考，以利于把非线性动力学与脑科学相结合的研究更加深入下去。

3 新的探讨和发展现状

面对脑电的非线性研究中的问题，近年来，人们在用非线性动力学研究脑电方面开始了新的探讨，以下简单介绍其中的一些典型的工作。

首先，虽然对脑电的非线性特性仍有争论，但目前比较公认的看法认为，脑电是源自于非线性系统，关于脑电的非线性的报导是近年研究的热点之一^[11，12]。许多研究报导了用非线性动力学去分析脑电，特别是用混沌参数D₂和λ₁去表征脑电的不同动态特性，在提示和解释复杂的生物系统的内在机理上，有很大的实用价值^[18～20]。同时近年来的研究报导也比较一致认为，原始脑电不是源自于低维混沌系统，用低维混沌理论去分析研究脑电的复杂非线性行为是<