关键词: 事件关联电位；小波变换；奇异性；单次提取；模极大性

自发脑电的频谱不规则，与有效信号ERP频谱相重叠，传统滤波方法难以奏效。但由于随机噪声奇异性指数与有效信号奇异性指数大小不一样，小波变换模极大值在不同尺度下传播行为也不一样，据此可将有效信号从随机噪声中提取出来。我们发现利用小波变换模极大值恢复算法可以提取出单次ERP，并将此方法用于11名被试听觉ERP的实时提取研究。

分类号： R318.04

THE RECONSTRUCTION ALGORITHM BASED ON MODULUS

MAXIMA OF WAVELET TRANSFORM FOR SINGLE TRAIL ERP

Li Luping, Cheng Hongwei, Ni Heying, Wang Xingbang, Ma Ruishan

(Fourth Military Medical University, Xi′an 710032)

Cheng Jingzhi

(Department of BME Xi′an Jiaotong University, Xi′an 710049)

ABSTRACT

The frequency of EEG was irregular and was the same as the event-related potential (ERP). The traditional filtering method was ineffective. However, the singularity index of the noise and the signal is not same. The decay of the wavelet transform modulus maxima was also different. This difference could be used to distinguish the noise and the signal. In this study, a new reconstruction method based on the modulus maxima of wavelet transform was used to estimate the single trail ERP from 11 male subjects.

Key words:Event-related potential; Wavelet transform; Singularity; Single trial; Modulus maxima

1信号奇异性小波变换检测原理

用于奇异性检测的小波是从光滑函数得到的^［1］。设θ(t)是具有低通特性的光滑函数。以它的一、二阶导数

作为小波，不难证明有如下关系：

也就是说，用Ψ⁽¹⁾(t)Ψ⁽²⁾(t)对x(t)作小波变换分别相当于x(t)被θ(t)平滑后对t求一阶和二阶导数。因此对某一固定a值，x(t)*θ_a(t)的转折点既是WT⁽²⁾_ax(t)的过零点，又是WT⁽¹⁾_ax(t)的极值。用WT⁽¹⁾_ax(t)极值表征信号的优点是，可以区分极大和极小。极大点是信号急剧变化之处，极小点是信号缓慢变化之处。模极大值不仅反映信号突变点的位置，还反映突变点的导数，即信号的变化程度。这些基本结论构成了小波变换检测信号突变点的理论基础。

若要将有效信号与噪声用小波变换模极大值方法分开，首先要了解噪声的模极大值特性。通常将自发脑电看作白噪声，而白噪声小波变换模极大值的平均稠密密反比于尺度j，即尺度越大，模极大值越稀疏^［2］，此点是区分信号和噪声在多尺度空间中模极大值传播行为的重要特性之一。在给定尺度下白噪声的小波变换是位置的随机过程，所以相对确定的有效信号可以在时间-尺度平面上与噪声分开。

2ERP小波变换模极大值的特点

小波变换是线性变换，因此当观察值由信号和噪声线性组合成时，观察值的小波变换也由信号小波变换和噪声小波变换相加组成。通过观察不同尺度2^j之间小波变换模极大值的变化行为，可以区分模极大值是由噪声产生的还是由有效信号本身产生的。

取具有一阶消失矩3次中心B样条的一次导数完成多尺度小波边缘检测。对单峰型ERP、多峰型ERP、M型ERP、平峰型ERP、眼动影响型ERP、α波干扰型ERP进行分析，在图1、图 2给出了两个例子。其中包括小波分解细节成分、对应的模极大值表示、消除噪声后的有效信号模极大值和A5成分表示。从中可以看出，不论何种形状的ERP，其信号模极大值传播行为有共同的特点。

图1单峰型ERP小波变换模极大值提取过程图2平峰型ERP小波变换模极大值提取过程

由观察可以看出不论是P3波较明显的单峰型ERP记录还是受干扰较严重的ERP，其小波变换的模极大值有如下共同点：

(1)随着尺度的增加，有些奇异点的幅度和数目逐级减小，且主要集中在D1和D2两层，衰减很快，不能传播，显示出了噪声的特性。

(2)随着尺度的增加有些奇异点的幅度和数目不减小或仅有轻微的变化。在最高尺度上，模极大值几乎完全由这样的奇异点控制，且均出现在300ms附近(记为M5)，并远离其它极大值点成为孤立奇异点，呈现出有效信号的特性。

(3)P3波上升沿和下降沿一般在各尺度上分别对应了一个模极大值点，方向相反，形成一个模极大值对，此模极大值对有时在最高尺度会消失，只剩下一个模极大值。

由上述分析可看出，相对确定的有效信号模极大值，很容易与噪声模极大值区分开。很显然，从最高尺度的模极大值对出发，向上寻找其它尺度属于信号的模极大值更容易。如何确定其余尺度上信号的模极大值是下面要讨论的问题。

3ERP单次提取模极大值恢复算法

相邻尺度上两个模极大值怎样才算是比较靠近，根据文献［2］的理论，若在x₀点有一奇异点，那么各尺度上对应于这一点的模极大值应在一个锥形范围内：

所以衡量“比较靠近”也应该随尺度j按同样规律变化。本研究按如下原则寻找各尺度上ERP的模极大值：首先寻找最高尺度起始于300ms附近的模极大值点或模极大值对M5。随后，在尺度j=J-1，与M5点最靠近的同向模极大值对为信号奇异点M4。j=J-2时有效模极大值按同样方式寻找，记为M3。

模极大值恢复算法的具体步骤：

(1)对含有噪声的单次ERP记录进行离散二进小波变换，所选尺度应较大以使信号极值点个数得到充分体现。但又不能过大，若尺度太大时会丢失信号的某些重要局部奇异性。

(2)在各尺度上取小波变换的模极大值表示。

(3)区分属于信号的模极大值和属于噪声的模极大值。

(4)去除对应于噪声的模极大值，构造信号的模极大值表示。

(5)将保留的模极大值点利用交替投影方法重建信号^［2］。具体做法是：在每两个相邻极大值的区间进行迭代运算，经过反复运算最终收敛到结果

4结果与讨论

对听觉ERP信号进行单次提取研究。诱发信号取自22名男性本科生，采用Oddball模式,从听觉通道施加刺激。4000Hz的纯音为靶刺激，2000Hz的纯音为非靶刺激，声强65dB。上升、下降时间5ms,靶刺激概率20%。刺激总数150，刺激间隔2s。ERP取自国际标准10-20系统的Pz点。

从上面的分析知P3波对应的模极大值在各尺度间传递，因此可由此模极大值来重构单次ERP的P3波。图3中曲线a为用尺度j=3,4,5全部模极大值和A5变量的提取效果。曲线b是用j=3,4,5模极大值对和A5成分的提取效果。曲线a保留了信号的大部分轮廓，而b则很好的突出了P3波的轮廓。模极大值包含了信号的所有轮廓信息，所以总可以通过选择合适的采样频率使噪声控制的模极大值与信号控制的模极大值分开，来达到消除噪声的目的。

小波变换的模极大值特性主要是用来提取图象信号的边缘信号，还未见国内外将此理论用于微弱生理信号单次提取的报道。从应用结果可看出，小波变换模极大值恢复算法适合于脑诱发单位的单次提取。

图3单峰型原始信号与模极大值法重构的比较

参考文献

［1］Mallat S, Hwang WL. Singularity detection and processing with wavelet. IEEE Tran. IT, 1992,38(3):617～643