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摘要：本文阐述了一种基于曲率的多分辨率缝补方法。该方法不仅继承了小波多分辨率缝补方法［6］的优点，而且，利用轮廓曲率的特性，可以更有效地选取轮廓的顶点，使得对原始轮廓的近似更合理，此特性对于优化过程也是有直接帮助的。另外，由于采用了B样条平滑变换计算曲率，使得本方法变得更为简单、更便于操作。
分类号；R318.04; TP391.41
MULTIRESOLUTION TILING OF PLANAR CONTOUR
Han ChaoLu Weixue
（State Key Lab of CAD & CG, Department of Life Science & Medical Engineering,
Zhejiang University, Hangzhou, 310027）
ABSTRACT：We described a multiresolution method based on curvature for constructing a tiling between a pair of planar contours. The method not only inherited the advantages of wavelet multiresolution method［6］， but also might choose effectively the vertex of the contours by characteristics of the curvature. This might approximate adequately the original contours and be benefit to the optimizing processing. Otherwise, this method was operated flexibly and simply, because the curvature was computed by the transform of the B smoothing spline.
Keywords：Curvature; Transform of B smoothing spline; Multiresolution; Tiling▲
0引言
在许多领域里，平面序列轮廓的三维表面重建是一个重要的研究问题。例如，在地质科学中［4］，需要建立三维古生物化石的模型，三维矿体模型等；在临床医学中［8］，各种肢体、器官的三维模型既可用于外科手术，也可以用于教学；在计算机辅助设计中，也常用设置平面序列轮廓的手段控制物体的几何模型。
基于轮廓的三维表面的重建问题被划分为几个子问题［7］，其中一个重要问题就是三维表面的缝补(Tiling)，它是指在一对相邻轮廓间寻找一些最佳的小三角平面。解决缝补问题，目前存在一些方法［7］，大致可以分两类：一类是Fuchs［3］、Keppel［5］等人基于图形原理提出的最优化方法：另一类是Christiansen［1］、Cook［2］等人提出的试探法。最优化方法虽然能给出好的结果，但是它的计算量相对于试探法太大。试探法也叫最短跨度法，它是在一对相邻轮廓的顶点间，寻找最短跨度，构造一些小的三角形平面网，这种方法仅仅在相邻轮廓很相似的情况下，才能得到较好的结果。
为了进一步解决这一问题，Meyer［6］提出了一种多分辨率的缝补方法。它是在用小波变换系数重建时，抛弃小波变换系数低于某一阈值的值，实现多分辨率的数据压缩。表面细节的损失是由阈值的大小决定的。它的优点是在缝补以及显示时可以节约大量的时间，并且，在许多情况下，它的效果与最优化法的效果一致。但是，小波变换在实际应用时，存在许多苛刻条件，例如，小波变换的滤波器带宽必须满足一定条件，用于小波变换的原始数据必须是2的指数方，并且在大尺度时，小波系数确定的顶点是有位移的。另外，由于小波函数不同，小波变换系数表现形式也不同等因素，都在一定程度上限制了它的实际应用。
本文将从另一角度阐述一种多分辨率缝补方法。首先利用B样条平滑变换计算出轮廓上每一点的曲率值，然后根据曲率值的特性，实现多分辨率缝补。相对于Meyer的小波多分辨率缝补方法，本文采用的曲率多分辨率缝补方法能更直接和准确地反应曲线的特性，在继承了小波多分辨率缝补方法优点的同时，也展示了小波多分辨率缝补方法不具有的优点，例如在曲线多分辨率缝补中，利用轮廓曲率值的特性，可以准确、方便地区分曲线的局部凹凸性，并且迅速地确定拐点的位置等，这些性质可以更有效地选取轮廓的顶点，使得对原始轮廓的近似更合理，此特性对于优化过程也是有直接帮助的。另外，由于本方法利用了B样条域内的一些性质，因此在实际应用中也更便于操作和使用。
1B样条函数及其平滑变换
1.1B样条函数空间
这里引入Schoenberg［9］定义的连续多项式B样条函数空间：
(1a)
其中βn(x)为n阶对称B样条函数
(1b)
其中
该定义说明了任何多项式样条函数gn(x)∈Kn1是可由平移B样条函数的加权和构成，并且是由其离散样条系统序列y(k)唯一表征。
1.2B样条函数空间的微分性质［10］
直接对公式(1a)某一多项式样条函数gn(x)一阶微分为
(2)
把(1b)代入(2)，可导出：
(3)
其中，d(1)(k)=δ0(k)-δ0(k+1)是B样条函数空间一阶微分算子。
同理，gn(x)的二阶微分可以表示如下：
(4)
其中，d(2)(k)=δ0(k+1)-2δ0(k)+δ0(k-1)是它的二阶微分算子(Laplacian算子)。
可见，在B样条域的微分是通过与有限微分算子卷积快速地实现。
1.3B样条函数的平滑变换
因为实际信号总是包含有噪声的，精确的B样条插值(B样条直接变换)不是最好逼近连续信号的方式。SchoenBerg［9］建议使用平滑样条变换。对于给定的离散信号数据序列｛g(k)｝，其2r-1阶平滑样条变换定义的函数必须减少以下误差：
(5)
其中，是阶数2r-1多项式样条函数，λ是要给定的正实数参数。λ的大小反映了逼近原函数的正规化程度。在应用时，根据偏向性选择逼近程度。
令
(6)
经过一系列的复杂运算后［10］，可以求得离散信号数据序列｛g(k)｝的样条系数序列y(k),其在Z变换域里表达式为：
(7)
其中称S2r-1λ为平滑样条滤波器：B2r-11(z)对应于公式(1b)在Z变换域里表达式;G(z)是离散信号数据序列｛g(k)｝在Z变换域里表达式;在本文的应用中，选择了三次B样条函数，即r=2。
2平面曲线的曲率
在实际中，P点的平面轮廓曲线数据可以表示为：
{C(t)=(x(t),y(t)),t=1,2∧P}
另外，曲线的曲率值公式定义为：
K(s)=‖C′(t)×C″(t)‖/‖C′(t)‖3(8)
其中，C′(t)和C″(t)分别表示曲线的一阶和二阶导数。
因此，在计算曲线的曲率之前，必须首先计算出参数方程x(t)、y(t)的一、二阶导数。本文采用的方法是首先通过B样条平滑变换把参数方程x(t)、y(t)变换到B样条域，然后在B样条域内完成导数运算，代入公式(8)，计算每一点的曲率。
