关键词: 紧支集；信号外推；磁共振成像

摘要：本文提出了一种广义的频域紧支集信号外推的新方法，并将之应用于提高核磁共振成像速度。计算机仿真和实验结果表明了文中的理论和方法是有效的和可应用的。

分类号：R445.2; R318.04

IMPLEMENTATION OF FAST MR IMAGING USING

EXTRAPOLATION OF SIGNALS

Wang Weidong

（Institute of Heavy Ion Physics, Peking University, Beijing 100871）

（ PLA General Hospital, Beijing 100853）

Bao Shanglian

（Institute of Heavy Ion Physics, Peking University, Beijing 100871）

（Research Center of Physical Technologies on Tumor Diagnosis and Therapy, Peking University, Beijing 100871）

Zu Donglin

（Institute of Heavy Ion Physics, Peking University, Beijing 100871）

ABSTRACT：We presened a generalized method for extrapolating signals of compact supported set in frequency domain, and its application to improving the speed of magnetic resonance imaging. The computer simulation and experimental results showed that the proposed theory and method were efficient and applicable.

Key words：Compact supported set; Signal extrapolation; Magnetic resonance imaging▲

0引言

提高脑和神经系统功能成像和脏器动态成像的速度已成为磁共振成像技术的又一个热点问题。在磁共振成像中影响其成像速度的主要因素有两个方面：一是受到人体产生核磁共振信号所需时间的限制，二是受到核磁共振信号的采集和测量时间的限制。当成像的射频序列和开关序列确定时，前者通常是无法改变和控制的因素，而后者是可以改变和控制的。但是，减少测量时间和采样样本的数量，只能导致k-空间(测量空间)测量信号的不完全，即有限长度，从而影响影像空间(f-空间)重建信号的质量。我们知道，由于影像空间信号是空间有限长度的，那么k-空间信号的频域是紧支集的。为了改善影像信号的质量，本文研究和推广了紧支集信号外推的理论和方法，并利用文中的理论和方法将测得的k-空间信号进行外推处理，然后再利用外推的k-空间信号重建f-空间的信号。这样做有两个优点：第一，提高了核磁共振成像速度，这是因为减少了磁共振信号的采集和测量时间；第二，降低测量信号的信噪比损失，这是因为采集的k-空间信号k值是低的，而低k-空间信号的信噪比通常要比高k-空间信号信噪比高得多。

本文研究了频域紧支集信号外推的基本定理和及其实现快速磁共振成像的方法。文中，第二节提出了广义的频域紧支集信号的一步外推的定理及其简捷的证明方法。第三节给出了利用信号外推方法实现快速磁共振成像的技术。第四节进行了计算机仿真和实验研究，从而证实了快速成像方法的有效性和正确性。

1信号外推的理论与方法

频域/时域紧支集信号(带限/时限信号)是实际应用中经常遇到的一类信号，但是，在测量中，人们只能得到它的一段有限长度的采样值，因而从有限长度的信号来外推无限长度的信号，是需要解决的重要问题。它在信号处理、地球物理、医学影像等领域有广泛的应用价值和重要意义。利用长球波函数展开理论，Papoulis和Gerchberg解决频域紧支集信号的外推问题，他们独立提出一种有效的迭代外推算法^［1，2］。其后，Cadzow等人提出可一步外推的高效计算方法^［3］。至今，在这方面有不少学者作了重要改进，业已取得一些可资利用的算法^［4～7］。事实上，这些理论和方法的数学生长点无需复杂的长球波函数展开理论，而实质上是一种有限长度信号的采样理论。本节推广了Cadzow的信号外推的基本结论，提出了一种广义的一步外推的定理及其简捷的证明。

定义1记为一对Fourier变换，若

(1)

则称f(t₁,t₂,…,t_m)为频域紧支集信号，称V_Ω为支撑集。

根据解析函数的理论，频域紧支集信号f(t₁,t₂,…,t_m)在(-∞,+∞)^m上有定义，而在实际中只能测量到有限长度f(t₁,t₂,…,t_m),(t₁,t₂,…,t_m)∈‖V_T能否用f(t₁,t₂,…,t_m)，(t₁,t₂,…,t_m)∈V_T⁰的有限长度测量信号外推f(t₁,t₂,…t_m),(t₁,t₂,…,t_m)∈(-∞,+∞)^m无限长度整个信号。下面定理对此给予了肯定。

定理设且F(ω₁,ω₂,…ω_m)和若存在一信号z(t₁,t₂,…,t_m)满足积分方程

(2)

其中

(3)

则有

(4)

证明：设时域矩形窗函数为

(5)

则方程(2)可写成下面形式

(6)

(6)式两边取Fourier变换，根据频域卷积定理得

(7)

这里*表示函数的卷积运算。

因为F(ω₁,ω₂,…ω_m)和H(ω₁,ω₂,…ω_m)具有相同的支撑集，所以(7)式可写成

H(ω₁,ω₂,…ω_m)Z(ω₁,ω₂,…ω_m)=F(ω₁,ω₂,…,ω_m),(8)

两边取Fourier逆变换，根据卷积定理得

(9)

考虑到方程(2)的存在，则有

(10)

证毕。

根据上述的信号外推定理，我们可以推得实现信号外推的一些具体算法。如比较简单方法可以直接离散化积分方程(2)，然后求解一个线性方程组，得到信号Z(t₁,t₂,…,t_m)，然后再利用(4)式进行外推。但是，离散化的线性方程组可能是一个非常严重的病态方程组，因此直接求解的方法可能失效。为此，我们可以利用各种迭代算法求解积分方程(2)，如常见的Bialy迭代算法和Van Cittert型迭代算法等^［1］，也可以利用Papoulis-Gerchberg迭代算法直接进行外推。

2信号外推在磁共振影像中的应用

利用磁共振成像进行脑功能研究目前还只是停留在测量脑活动图水平上和脏器动态成像也无法消除脏器运动的影响，其原因在于磁共振成像的速度还有限，最快的磁共振成像速度也不过为50ms/帧。为了提供磁共振成像的速度，根据上节给出的信号外推理论，可以利用较短k-空间的核磁共振回波信号外推到整个k-空间，从而使得磁共振成像速度成几何级数提高。

一般说来，三维k-空间的核磁共振回波信号P(k_x,k_y,k