关键词: 广义模糊集合论；图象处理；数字减影；目标识别

作者的早期研究成果广义模糊集合论在本文中得到进一步的完善，相对完整系统地探讨了广义模糊集合的性质，并给出了一些新的定义和运算公式。此外还将其运用到图象处理的某些领域如数字减影和目标识别，实验结果证实了它的优越性，显示出广义模糊集合论在图象处理中具有良好的发展前景。

分类号： R318.04; O159

GENERALIZED FUZZY SET THEORY AND SOME NEW

APPLICATIONS IN IMAGE PROCESSING

Chen Wufan, Xie Xinpeng, Hong Wensong

(Department of BME, First Military Medical University, Guangzhou 510515,China)

ABSTRACTIn this paper, Generalized Fuzzy Set Theory (GFST), proposed in 1995 by author, has been completed further, the features of GFST are explored more systematically, and some new definitions and operational formulas are given. Specially, they are applied well to some fields of image processing, such as Digital Subtraction Angiography (DSA) and Object Recognition (OR), and the experiment results have verified the advantages of GFST, which show that GFST can open bright prospects for applications of image processing.

Key words: Generalized Fuzzy Set Theory (GFST), Image processing, Digital Subtraction Angiography (DSA), Object Recognition (OR)

0前言

美国自动化专家Zaden教授创建的模糊集合论和确定的有关运算律，为实现过程的智能化分析奠定了理论基础与方法。近些年来模糊集合论在信号处理与图象处理等领域中有若干成功的应用，但存在扩大应用范围的困难，这主要是因为模糊集合论本身的局限性。自从作者于1995年首次提出广义模糊集合的概念以来^［1］，它在图象处理领域中取得了多方面的应用成果，诸如图象的广义模糊增强，边缘检测，广义模糊特征点空间配准，二值分割与浮雕显示^［2～6］均比相应的常规图象处理技术具有速度快、品质优的特点。广义模糊集合论是Zaden提出的模糊集合论的推广，它包含了模糊集合论，或说模糊集合论是广义模糊集合论的特殊形式。但是，在本文之前，广义模糊集合论仅是一雏型，在经过二年多的应用之后，现在是开始从理论上完善广义模糊集合论的时候了，本文是整个工作的第一步。

1广义模糊集合

我们知道，在模糊集合论中，论域U上模糊集合A中某个元素x的隶属函数μ_A(x)∈［0,1］与事件x的发生概率P(x)∈［0，1］，虽有着本质区别，却有类似之处。但是，广义模糊集合论却全然不同，它与事件发生概率无法类比，不过意义深远，就象实际问题中并不存在虚数一样，引入了虚数，能帮助人有效地解决某些实际问题。

定义1：设在论域U上有一个映射μ

μ∶U→［-1,1］(1)

则说μ确定了U上的广义模糊集合A，μ称之为A的广义隶属函数，记作μ_A，μ_A(u)叫作对A的广义隶属度，它表示u属于A的程度。U上的广义模糊集合简称为广义模糊集。

当μ_A(u)＞0时，u完全属于A；当μ_A(u)=1时，u绝对属于A；当μ_A(u)＜0时，u完全不属于A，当μ_A(u)=-1时，u绝对不属于A；而当μ_A(u)=0时，u为A的分界点。越接近于1，完全属于A的程度越大；反之，越接近于-1，完全不属于A的程度越大。

例1：论域U

U=｛1,2,3,…,11｝

上，A为较小整数的广义模糊集可定义为

其中元素1是绝对属于A的，元素｛1，2，3，4，5｝是完全属于A的，而元素11是绝对不属于A的，元素｛7，8，9，10，11｝完全不属于A的，元素6则是分界点。

由于论域存在有限与无限两种类型，故广义模糊集A也有两种表示方法：

1当U为有限域时，U=｛x₁,x₂,…,x_n｝,其广义隶属函数为μ_A(x_i)∈［-1,1］,则

2当U为无限域时

与模糊集合一样，式(2)与(3)中符号∑、∫并不表示求和与积分，而仅是对应关系的有穷与无穷的一个总结。

由于我们今后所要解决的均为数字信号或数字图象一类问题，是离散化了的，故本文仅讨论有限论域上的广义模糊集合与相关运算律。

我们约定，广义模糊集合的广义隶属函数必须具有单调性，即说论域U上没有两个或多个不同元素具有同一隶属函数，反之同一元素不能具有两个或多个隶属函数；显然U中的元素总是分明的，而U中某个元素到底是属于哪一个子集才是广义模糊的。

广义模糊隶属度函数一般为下面三种形式：

自然，实际问题所用到的广义模糊隶属函数还可以是某一种形式中的一部分。如果

式中c为A的分界点，则广义模糊集合就退化为一般模糊集合；进一步，若μ_A(x)只取0，1二值，则模糊集合退化为普通集合。

2广义模糊集合的运算律

与模糊集合不同，广义模糊集合中点与集合之间的绝对隶属关系是存在的，同时还存在隶属函数之间的关系。

设U域上的广义模糊集合的全体用F(U)表示，则我们可用广义隶属函数来定义广义模糊集的运算。

定义2：设A，B∈F(U)，若x∈U,有μ_A(x)μ_B(x),则AB;

由于包含关系“”是广义模糊幂集F(U)上的二元关系(F(U)，),故(F(U)，)是偏序集，且F(U)具有最大元U及最小元Φ。诚如所知，数字图象的灰度值是非负的，显然它满足广义模糊幂集F(U)的具有最大元与最小元的存在性。

定义3：设A，B，C∈F(U)

(1)若AB,BA,则A=B(对称性)

(2)若AB，BC，则AC(传递性)

(3)自然地AA(自反性)

定义4：若A，B，C∈F(U),广义和与广义差运算表示为

C=A+B=A∪BC=A-B=A∩B

定义5：若A，B，C∈F(U),则它们的并、交、补运算之结果仍在F(U)中，即

A∪B∈F(U),A∩B∈F(U),A^C∈F(U)

在论域U=｛x₁,x₂,…,x_n｝上，设

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