摘要根据头表观测电位反演脑电源的空间位置是脑电研究中的一个重要问题。基于四阶累积量矩阵的子空间分解，提出了一种新的脑电逆问题算法。与现有的基于二阶统计量矩阵的子空间分解算法相比，二阶方法存在对空间相关噪音敏感的问题，而四阶方法可以抑制在时间方向上呈高斯分布，在空间方向相关的噪音，从而显示了四阶方法的较好性能。

Electroencephalography Inverse Problem by Subspace Decomposition of the Fourth-order Cumulant Matrix

Yao Dezhong

(Department of Automation University of Electronic Science and Technology, Chengdu610054)

AbstractIt is an important topic in electroencephalography (EEG) research to localize the EEG activity sources from the scalp recordings. In this paper, based on the fourth-order cumulant matrix, a new sub-space decomposition algorithm is proposed for the EEG inverse problem. As the second-order moments (cumulants) has the drawback of being sensitive to the noise covariance. Using the fourth-order cumulants we need not know the noise covariances, as long as the noise is Gaussian. Computer simulation study on a three-layer concentric sphere head model shows its better performance than the two-order cumulate method in depressing the spatial coherent Gaussian noise.

Key wordsElectroencephalography (EEG)Inverse problemFourth-order cumulantSubspace decomposition

1引言

脑功能的无损测量在当前引起了人们广泛的兴趣。这种测量通常采用不同的感觉刺激，以研究人脑某些特定的高级认知功能，或脑功能的损伤。脑功能的无损测量手段包括脑电(EEG)，脑磁(MEG)和功能磁共振(fMRI)等，其中EEG的费用远低于其它方法，且具有毫秒级的时间分辨率，因而一直受到相关学者的高度重视。

脑电逆问题的研究方法大致可以分为两类^［1］：一类是成像方法^［2，3］，具体有基于等效分布源、基于边界元、有限元和基于球谐分析皮层电位成像方法，以及假设源呈三维体分布的低分辨层析方法；另一类是偶积源定位方法^［4～6］，具体有非线性最小二乘法^［4］，全局优化算法^［5］和子空间分解算法或称多信号分类算法^［6，7］。在这些方法中，大都是以某一时刻的电位观测值为已知信息，唯有子空间分解算法是直接建立在一段观测记录上的，从而较好的同时利用了观测记录中的时间和空间信息^［6，7］，受到人们较广泛的重视。

Mosher等^［6］首先将子空间分解算法用于脑磁逆问题的研究，Sekihara等^［7］将其进一步用于同时进行了“任务实验”和“控制实验”的MEG逆问题研究，Koles等^［8］将其与共同空间图像分解相结合，研究了自发脑电中癫痫波的定位。在这些工作中，子空间分解是建立在观测记录的二阶统计量-互相关阵的基础上的，其效果受空间相关噪音影响较为明显^［6～8］。鉴于高阶统计量对任何形式的高斯过程的不敏感性，本作者发展了基于四阶累积量矩阵的子空间分解脑电逆问题方法，并在数值实验中显示了一定的效果。

2算法

2.1四阶累积量的基本概念

脑电记录是一个典型的多传感信号。假设M个空间实信号构成向量X

X^T＝［X₁(t),X₂(t),…，X_M(t)］(1)

，空间一、二、三和四阶矩为^［9，10］

μ₁(k₁)=E｛X_k1(t)｝

μ₂(k₁,k₂)=E｛X_k1(t)X_k2(t)｝

μ₃(k₁,k₂,k₃)=E｛X_k1(t)X_k2(t)X_k3(t)｝

μ₄(k₁,k₂,k₃,k₄)=E｛X_k1(t)X_k2(t)X_k3(t)X_k4(t)｝(2)

显然，空间二阶矩即空间互相关函数，空间一阶矩即数学期望。

空间互四阶累积量为^{［10，11］}

k₄(k₁,k₂,k₃,k₄)=μ₄(k₁,k₂,k₃,k₄)-(μ₃(k₂,k₃,k₄)μ₁(k₁)+μ₃(k₁,k₃,k₄)μ₁(k₂)+μ₃(k₁,k₂,k₄)μ₁(k₃)+μ₃(k₁,k₂,k₃)μ₁(k₄))-

μ₂(k₁,k₄)μ₂(k₂,k₃)+μ₂(k₁,k₃)μ₂(k₂,k₄)+μ₂(k₁,k₂)μ₂(k₃,k₄))+2(μ₂(k₃,k₄)μ₁(k₁)μ₁(k₂)+

μ₂(k₂,k₄)μ₁(k₁)μ₁(k₃)+μ₂(k₂,k₃)μ₁(k₁)μ₁(k₄)+μ₂(k₁,k₄)μ₁(k₂)μ₁(k₃)+μ₂(k₁,k₃)μ₁(k₂)μ₁(k₄)+

μ₂(k₁,k₂)μ₁(k₃)μ₁(k₄))-6μ₁(k₁)μ₁(k₂)μ₁(k₃)μ₁(k₄)(3)

对于零均值信号，上式简化为

k₄(k₁,k₂,k₃,k₄)=μ₄(k₁,k₂,k₃,k₄)-μ₂(k₁,k₄)μ₂(k₂,k₃)-

μ₂(k₁,k₃)μ₂(k₂,k₄)-μ₂(k₁,k₂)μ₂(k₃,k₄)(4)

(4)式是空间谱估计中常用的四阶累积量表达式^［9，11］。对于脑电信号，零均值假设不一定符合实际，尤其对于诱发脑电信号，为此，在本工作中将以上面(3)式的一般形式作出发点。

累积量有许多优良性质可以利用，下面列出有关的三项性质^［10］：

(1)若｛α_i｝ⁿ_i=1为常量，｛x_i｝ⁿ_i=1为随机变量，则累积量满足以下关系

(5)

(2)若随机变量｛y_i｝ⁿ_i=1与随机变量｛x_i｝ⁿ_i=1之间统计独立，则

cum(x₁+y₁，…，x_n+y_n)=cum(x₁,…,x_n)+

cum(y₁，…，y_n)(6)

式中：cum(cumulant)表示累积量。

(3)四阶累积量完全抑制高斯噪音，若｛x_i｝ⁿ_i=1为高斯随机变量，则

cum(x_k1,x_k2,x_k3，x_k4)=0.0(7)

2.2脑电逆问题模型

脑电问题可归纳为以下的模型：

(8)

式中：y(t)∈R^M×1为头表M个电极的观测记录；x(t)∈R^L×1为头内L个独立源的强度函数；e(t)∈R^M×1为M