摘要为了查明人体深部器官产生病理破坏时体表温度的畸变状况及其换热机制，采用人体组织换热的数学模型及其参数辨识的导热反问题极值法，并结合人工热病灶的实验数据，较圆满地解决了这一生物传热学难题。

Inverse Problem Identification of Parameters

in Heat Transfer Processes of Human Body

Yu KeguangJi ZhiguangXie TingfanLi Xijing

Engineering Thermophysical Research Lab, China Institute of Metrology, Hangzhou310034

AbstractIn order that the distortion of the relative skin temperatures which is accompanied with the physiological destruction of an organ in the abdominal cavity and its physical-physiological mechanism may be investigated, we adopt in this paper the mathematical model for heat transfer problems in human layered tissues and a perfect parametric identification approach-inverse problem method. By utilizing the extremum method and integrating with the experimental data of an artificial thermo-focus, this difficult biophysical problem is solved.

key wordsHuman bodyThermo-focusHeat transfer processInverse problem identification

1前言

人体生理过程发生破坏时，经常伴随着身体热状态的改变，所以可利用体表温度场特性作为诊断病情和治疗检查的热图诊断学基础。但是医学上的热图诊断目前还只是建立在纯目视和较主观的解释之上，亟待解决体表温度畸变的换热机制，其中特别是体表血流率剧烈变化的规律性。为了确定热图诊断的客观判据及其合理的应用范围，必须对人体组织的换热过程进行理论——实验研究。目前，国际上虽然提出了较为适宜的数学模型，但有关人体各种组织的物性参数及边界换热条件参数均常有较大的分散性及偏差，这就导致仅用通常的数值模拟方法，不可能获得各种病理过程中温度场变化的可靠结果。因此，该问题既成为国际工程物理界的一个研究热点，又是生物传热学中一道棘手的难题。

反问题理论及其方法是认识自然规律的强有力数理工具，有时甚至是唯一有效的研究手段。为了解决上述难题，本文作者对人体组织换热过程中血流率的参数辨识采用了导热反问题的极值法，并利用了人工热病灶的医学——传热学实验结果作为输入数据，使辨识的结果准确可靠。结果表明：本方法可定量地确定生理及物性参数，并能查明体内器官温度升高，相应体表温度场变异的生理——换热机制。

2极值法的原理

反问题通常是一种典型的不适定问题^［1］，在80年代末，国际数理界才完成了对其适定性的研究并提出了多种解法，其中在数学上最完善的解法是一种极值法，即正则梯度法^［2，3］。本文将采用这种算法。

设u为所需辨识的参数(譬如表皮组织中随时间变化的血流率)。在数学上可将上述反问题写为求解如下算子方程^［1］：

Au=f,u∈U，f∈F(1)

其中：A：U→F，它是一个按弗雷谢(Frechet)可微的连续算子；

U，F为希尔伯特(Hilbert)空间。

泛函Δ(u)=‖Au-f‖_F，称之为方程(1)的偏差。我们要讨论的偏差泛函(目标泛函)为：

J(u)=Δ²(u)=‖Au-f‖²_F

泛函J(u)的梯度J^′_u由下式确定：

J^′_u=(A^′_u)^．(Au-f)(2)

式中：A^′_u为算子A在点u的Frechet导数；(A^′_u)^．为A^′_u的共轭算子。

元素(-J^′_u)确定空间U中泛函J(u)和Δ(u)的最快下降方向，即负梯度方向，故此种极值方法又可称为梯度算法。

然后用优化迭代去搜索待求的参数u：

uⁿ⁺¹=uⁿ-β_nJ^′_un，n=0,1,2,……(3)

其中：n为迭代(搜索)序号；β_n为步长因子或称迭代参数。

由此可得出求解上述反问题的步骤：(1)求算子A的Frechet导数A^′_u；(2)推出共轭算子(A^′_u)^*；(3)算出偏差泛函的梯度J^′_u；(4)估算出β_n并对u进行优化搜索。下面针对人体换热过程将这个数学求解思想具体化，并在考虑物性参数匹配与先验信息方面进行了适当的补充。

3数学模型及导热反问题参数辨识

我们来研究一个典型的生物传热反问题，即以胃为代表，要求确定该人体深部器官的热病灶区与相应的腹部表皮之间的非稳态温度分布以及体表层血流率的变化过程。

该非稳态导热反问题的数学描述为(各层组织的坐标如图1所示)：

图1多层组织的示意图

Fig 1Scheme of multilayer tissues

初始条件(I.C.)：t_i(x,0)取稳态下的温度分布作为初始值。

边界条件(B.C.)：

补充条件(C.C)：t₁｜_x=0=f(τ)

式中：t为温度；τ为时间；x为从体表算起指向腹腔深部的坐标；cρ为容积热容量；λ为导热系数；G为血流率；C_kp为血液的比热；t_a为动脉血液的温度；q_υ为由新陈代谢而产生的容积热流密度；q_u为体表由蒸发、自然对流和辐射而散失的热流密度；t_bH为肌肉层内表面的实测温度，t_bH(0)设定为37℃；t_i=t_i(x,τ)和G₁(τ)为待辨识量。显然，当方程中的t_i/τ为零时，则变成稳态问题。

众所周知，上述模型中皮肤层的血流率G₁(τ)是一个变化幅度很大的生物物理量，但其变化规律一直是生物医学研究工作者的探索目标。为将它作为未知量进行辨识，就必须至少加上一个补充条件(例如实测表皮温度f(τ))方能使定解问题封闭可解。由于待辨识量G₁仅出现在i=1的方程中，故需集中力量去探讨第一层(皮肤层)的系数反问题，其数学描述为(为书写方便，下面用t表示t₁)：

(4)

其中：t=t(x,τ)，其定义域为：Q={0＜x＜l₁,

0＜τ≤τ_m}

I.C.t(x,0)=ξ(x)，0≤x≤l₁(5)

(ξ由稳态问题算出)

其中：τ_m为所研究时间区间的右边界值。

为了用正则梯度法求上述系数反问题，需要知道偏差泛函的梯度，该偏差泛函定义为：

(9)

G₁(τ),f(τ)∈L₂[0,τ_m]

若G₁得到一增量ΔG₁，对应地t(x,τ)有一增量v(x,τ)。将G₁(τ)+ΔG₁(τ)以及t(x,τ)+v(x,τ)代入式(4)～(7)并忽略高阶小量，很容易得到温度场的以下增量问题：

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