内容摘要和传统的高斯聚焦声束相比，有限衍射声束具有较大的声场深度，可以用于医学成像、组织定征、材料的无损检测、多普勒血流检测等许多领域。理论上非衍射声束只能由无限大孔径换能器产生，实际应用中，用有限孔径近似产生的有限衍射声束也具有很大的声场深度。本文介绍了有限衍射声束的产生、各方面特性、及在医学成像、血流估计方面的应用。

Limited Diffraction Beams and Its Application

Cao PeijieMa DongCheng Jingzhi(Xi'am Jiaotong University, Xi'an710049)

AbstractLimited diffraction beams have a large depth of field and thus have many applications such as medical imaging、tissue characterization、material flaw detection and blood flow detection by Doppler method.Nondiffraction beams colud be produced only by transducer with an infinity large aperture in theory. The experimental results show that limited diffraction beams produced by a limited aperture have desirable large depth of field also. The theory of this kind of beams and their applications in field of medical imaging and blood flow estimation are introduced.

Key wordsLimited diffraction beams

1983年，Brittingham解电磁场的波动方程，得出了一种能量局部化波束的解形式，称为‘聚焦模式波’^［1］。此种波束可以传播很大距离而只有局部较小的形变。Ziolkowski等对此种波束作了进一步研究^［2～4］。1987年Durnin发现了非衍射波束(nondiffracting beams)^［5］。理论上，由无限大孔径产生的非衍射波束也可以传播很远距离。Durnin称之为非衍射波束。由于任何由有限孔径产生的波束，最终都要衍射，因而将此种近似波束更名为有限衍射波束(limited diffraction beams)^［6］。Durnin波束的横向轮郭呈一贝塞尔函数，又称为贝塞尔波束。在光学^［7，8］和声学^［9，10］领域都对此波束特性作了深入研究。近年来在贝塞尔波束基础上又发现了X形波束^{［11～13］}、蝶形波束^{［14，15］}。本文主要从声学角度介绍其特性及应用，称之为有限衍射声束。

有限衍射声束具有良好的声场特性，可用于医学成像^［16］、组织定征^［17］、多普勒血流测量^［18］、材料无损检测^［19］等许多领域。

1理论分析

1.1贝塞尔声束

Durnin从自由空间的波动方程出发，给出了贝塞尔声束的详细理论^［5］。自由空间的波动方程为：

γ为空间矢量，可以验证，对于z≥0的无源区域，下式为式(1)的精确解(exact solution)：

式中：β²+α²=(ω/c)²；A(ψ)为ψ的任意复函数；β为实数；

式(2)表明在所有z＞0且垂直于z轴平面内，声强分布形态和z=0位置相同：

I(x,y，z≥0)=1/2 E(r,t)｜²=I(x,y,z=0)(3)

当A(ψ)为常数时，声场具有轴对称性，其幅度正比于：

式中：ρ²=x²+y²；J₀为第一类零阶贝塞尔函数。当α＝0时，此解为平面声波；当0＜α≤ω/c时，此解为非衍射声束，声强随αρ反比例衰减。即使z→∞，声强在垂直于z轴平面内的分布也和z=0平面内相同，声场能量集中于中心轴线附近。

由式(4)可以看出，声束由一系列平面波积分而得。对于ψ=ψ₁，上式为：

E(r,t)=exp[i(βz+αρ-ωt)](5)

上式为一平面波，传播方向和z轴具有夹角θ：

ψ取0～2π，一系列平面波叠加就构成了式(4)波束。对于有限孔径换能器，超过某一深度范围后，声场中形成一个以孔径中心轴线为中心的圆锥形无声区。此深度称为声束的最大深度z_max：

z_max=r/tanθ=r[(2π/αλ)²-1]^1/2(7)

其中：r为换能器孔径半径。

1.2X形声束

Jianyu Lu给出了自由空间波动方程非衍射解的一般化形式^［11］，由此一般形式解出发，不仅可以得到平面波、贝塞尔声束等已知的非衍射声束，还可以衍生无数种新形式的非衍射声束。对于柱面坐标的波动方程：

式中：r²＝x²+y²；r为柱面半径；为辐角。

以下3个函数为方程的三族精确解：

式中：

式中：T(k)、A(θ)、D(ζ)、f(s)、₂(z-ct)为k、θ、ζ、s、z-ct的任意复函数。₁(r,ψ)为横向拉普拉斯方程的解：

当c₁(k,ζ)与k,ζ无关时，_L、_ζ、_K分别表示了三族非衍射声束。Lu研究了_ζ，它包括了以往所知的贝塞尔声波、平面声波、及Axicon声束的非衍射部分^［20］。若T(k)取冲激函数δ(k-k′)；k′=ω/c；f(s)=e^s；α₀（k，ζ)=-iα；b(k,ζ)=i/β=iω/c₁,由_ζ得到Durnin的非衍射声束：

其中：β²=k^′2-α²。

如果A(θ)=iⁿe^inθ，可以得到n阶贝塞尔非衍射声束；

_Jn(s)=J_n(αr)e^{i(βz-ωt+nψ)},(n=0,1,2……)(16)

如果A(θ)=iⁿe^θ；α₀(k,ζ)=-iksinζ；b(k,ζ)=ikcosζ；T(k)，f(s)同式(15)，则可以得到Axicon声束的n阶非衍射部分。ζ为Axicon角度^［21］：

_An(s)=J_n(k′rsinζ)e^{i(k′zcosζ-ωt+nψ)}，(n=0,1,2……)(17)

选择不同的参数可以形成各种新的非衍射声束。Lu构造了X形声束：令T(k)=

B(k)e^-αk；α为一常数；A(θ)=iⁿe^inθ；α₀(k,ζ)=-iksinζ；b(k,ζ)=ikcosζ；f(s)=e^s。可得：

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