摘要建立人体呼吸系统的模型，其包含有五个房室和通气率、血流量的控制系统。通过建立模型，能够了解氧气和二氧化碳在人体中的运输、交换、贮存的过程，并能仿真在低氧状态和高碳酸状态下，氧气和二氧化碳在人体各处的动态变化过程和静态数值，为研究体内外气体交换提供依据。

A Mathematical Model of Human Respiratory System

Qiu Anqi

(Department of Electrical Engineering and Applied Electronic Technology,Tsinghua University, Bejing 100084)

Bai Jing

(Department of Electrical Engineering and Applied Electronic Technology,Tsinghua University, Bejing 100084)

Abstract

The model of human respiratory system comprises five compartments, and incorporates controller of alveolar ventilation and cardiac output. The comprehensive model helps to understand the process of oxygen and carbon dioxide transport, exchange and storage in the body of a human adult. It is also possible to simulate the process of dynamic change and static values of oxygen and carbon dioxide in various parts of a human body under hypoxia and hypercapnia.

Key words:Respiratory system; Nonlinear model; Oxygen dissociation curve; Carbon dioxide dissociation curve; Hypoxia; Hypercapnia

0引言

早在1945年，Gray最早提出利用数学模型方法来研究人体呼吸系统化学控制^［1］。此后，Grodins等人提出了呼吸系统的动态模型。六、七十年代，Defares等人从不同的角度来研究呼吸系统的模型。目前，呼吸系统模型建立有两个比较成熟的发展方向。一方面是根据呼吸系统的生理机制建立最基本的呼吸系统模型；另一方面是从呼吸系统的化学控制或中枢神经控制角度来研究呼吸系统模型。一般的模型都是根据自身的研究目的建立简单的模型，对于整体全面地描述气体在人体中的运输、交换、贮存的过程和呼吸系统控制模型仍比较少，而且尚不完善。

本文通过对Fincham、Lorenzo等人^［2，3］的呼吸系统模型的综合考虑，建立了氧和二氧化碳在人体中的运输、交换和贮存的过程以及外周和中枢化学感受器对通气率和血流量调节的非线性模型，从而能够将此模型作为呼吸系统模型的整体框架。本模型主要考虑到肺部的解剖学结构，建立了肺部血液分流模型，使动脉和肺部的气体浓度更准确；此外，氧在人体组织和血液中的浓度和分压的关系是解决氧气运输、交换的关键，因此，在建立本模型时重点讨论了对氧分离曲线模型的选择，使模型既简单又能准确地反映氧在血液中结合和分离的情况。仿真结果表明，此模型能够描述人体在静息状态、低氧情况及高碳酸情况下，氧和二氧化碳在人体各处的分压和浓度的静态数值和动态过程，且仿真结果与Fincham、Lorenzo等人^［2，3］的模型仿真结果一致，因此，此模型可作为呼吸系统研究的框架。

1呼吸系统模型的建立

为了描述呼吸系统的整个生理过程，建立了包括肺、动脉、静脉、组织和脑五房室模型。由于脑中的延髓是基本呼吸节律产生的中心，延髓的气体分压与动脉中气体分压应保持在它们的基本值水平，否则，将调节肺的通气率和血流量，使气泵和血泵能够协调配合，以保证人体呼吸系统的正常工作，因此，将脑与其它组织分离。图1是模型框图。从框图中可以看出此模型中分别包含有氧和二氧化碳两条运输线路以及通气率和血流量控制系统，模型描述如下。

1.1氧在人体中运输模型

氧气是根据吸入气体氧分压和肺泡中氧分压差来决定氧流入肺泡的多少，这是肺通气的过程。对于人体血液和气体循环是连续的、单向的循环，肺泡中的氧要通过血液运输到全身各处，这是肺换气的过程。肺换气的过程主要是在肺泡和肺毛细血管中进行，这一过程进行的非常快，约占血液流经肺毛细血管总时间的1／3，肺毛细血管末端的氧分压接近于肺泡中的氧分压。肺房室中氧变化的数学描述如下^［3］：

(1)

方程右侧前项表示吸入氧和肺泡中氧交换的过程，P_I,o2和P_A,o2分别表示吸入氧和肺泡中氧的分压，是肺泡的通气率；方程右侧后项表示肺泡中的氧进入肺毛细血管的过程，k是氧浓度转化成氧分压的系数，通常k为常数；V_A是肺泡中气体体积。静脉血回流到肺时，在解剖学结构中并不是全部的血都回流到肺动脉中，少部分静脉和动脉直接相连，称为动静脉短路现象，因此，并不是全部的心输出血都进行气体交换，为了表示这一现象，在肺房室模型中加入δ表示肺血液分流系数，δ为常数。Q是血流量，C_v,o2、C_Ae,o2分别是静脉和肺毛细血管末端的氧浓度。

氧气在动脉中的浓度取决于静脉和肺毛细血管末端的氧浓度。根据质量守衡定律：

C_a,o2=(1-δ)·C_Ae,o2+δ·C_v,o2(2)

在脑和组织的房室中，脑和组织中的氧不仅要与血液的氧进行交换，同时也要不断消耗氧。假设脑和组织中的气体体积不变，则方程如下：

(3)

C_a,o2、C_vi,o2分别表示动脉和脑或组织的静脉端的氧浓度。MPR_i表示氧代谢率。当i=B或T此方程分别代表脑或组织的方程。

静脉房室中，依据质量守衡定律，静脉中氧变化表示如下：

Q·C_v,o2=Q_B·C_vB,o2+Q_T·C_vT,o2(4)

Q=Q_B+Q_T

Q_B／Q为常数^［3］，Q_B和Q_T随Q的变化而变化。

为了研究全身各处的氧浓度和氧分压，假设^［3］：P_B,o2=P_vB,o2，P_T,o2=P_vT,o2，P_A,o2=P_Ae,o2。通过以上假设，可利用氧在组织和血液中的氧分离曲线确定氧浓度和氧分压的关系来计算出C_vB,o2、C_vT,o2、C_Ae,o2。有关组织和血液中的氧分离曲线我们将在以下讨论。

1.2二氧化碳在人体中运输模型

气体在人体中的运输、交换、贮存的理论依据是一致的。因此，二氧化碳和氧运输线路的方程形式均相同，只是在方程(3)中，由于二氧化碳在人体中是代谢产物，所以MPR前的符号应为正值。

1.3血氧饱和度曲线

氧在人体中的运输、交换、贮存是一个复杂的问题。一般气体在液体中的溶解度是跟气体压力有关的量。在组织和脑中，氧浓度和压力符合这一特性。

C_i,o2=α_o2·P_i,o2，i=B,T(6)

血液中的氧主要以溶解和结合两种形式存在，血液中的氧浓度和分压的关系为：

C_j,o2=λ₁·C_Hb·S+λ₂·P_j,o2，j=a,ν(7)

方程右侧前项表示氧合血红蛋白结合的量，后项表示氧溶解于血液中的量。λ₁=1.312e-31／g，λ₂=3.03e-5mmHg^-1。j表示在动脉或静脉血中均符合此方程。氧主要和血液中的血红蛋白结合成氧合血红蛋白，将氧输送到全身各处。通常，一分子的血红蛋白(Hb)能结合四分子的氧(O₂)。当血液流经氧分压高的肺部时，Hb和O₂迅速结合，形成氧合血红蛋白（HbO₂）；当血液流经氧分压很低的组织中时，HbO₂迅速分解成O₂和Hb。描述这一过程可以用氧分离曲线。氧分离曲线描述氧在人体中的运输、交换中起着重要的作用。由于Hb的变构效应使得氧分离曲线成S形，这使氧分离曲线的模型复杂，但氧分离曲线模型的正确关系到整个模型正确。因此，在本模型的建立过程中，重点对其进行了讨论。

(1)最早Hill在1910年建立了氧分压P_o2和血氧饱和度S方程^［4］：