摘要脑磁源的定位是脑磁图(magnetoencephalography简称MEG)研究的一个基本问题。该问题属不定问题，即根据探头测量的微小磁场所建立的方程组求得的未知脑磁源有无穷组解。因此需要通过建立合理的数学模型补充适当信息。脑磁场测量信号SVD正交分解且进行单偶极子搜索方法(music)已被广泛采用。该方法假定脑磁源是许多孤立的偶极子源，且偶极子源之间在统计上是互相独立的。若脑磁源不满足上述假定，一般讲该方法失效。三目标最优化法是最近推出的一方法，若偶极子源分布在脑空间内任意深度平行于探头表面的一层附近，该方法可给出正确的解。三目标最优化法与脑磁场测量信号的SVD正交分解方法相结合可得一新方法，它将脑空间划分成几个子区域，每一区域在平行探头表面不同深度的一层附近。新方法仅要求每一区域内的脑磁源与其它区域内的源在统计上互相独立。而区域内的源是允许互相相关的。与前两种方法相比，新方法进一步放松了对脑磁源的要求，因此有更广泛的适用性。本文详细推导并论证该新方法并讨论它对磁场的源的独立性的要求。本文所述新方法也适用对脑电图EEG源的定位计算。

Locating the Brain Sources by Applying the Combination the

Method of Minimization with Three Object Functions and the

Method of Singular Value Decomposition to the Signals of

Brain Magnetic Fields

Zhao Shuangren, Jiang Dazong

(Xi′an Jiaotong University, Xi′an, 710049)

Abstract

Locating the sources of brain magnetic fields is a basic problem of magnetoencephalography (abbreviated as MEG). The problem is an “indefinite” one, that is: infinite solutions can be obtained from the equations according to the small magnetic fields measured by detectors. Therefore, a mathematical model is necessary to give more information. The method searching with single dipole applying the technique of the singular value decomposition (SVD) to the signals of the measured magnetic fields (MUSIC), has been widely used. It is supposed that the sources of brain magnetic fields are many compact electric current dipoles, which are independent with each other in respect of statistics, and all of them stay far away with each other. If these conditions are not satistied, this method fails in general. The method, using minimizations with three object functions to locate the sources of brain magnetic fields was developed recently. If all sources of brain magnetic fields stay in the neighborhood of one layer, which is underneath the detectors in any depth, correct results can be achieved with this method. In this paper a new method is developed through the combination of the method, using minimizations with three object functions and the method of the decomposition of the measured brain magnetic fields, using SVD. The new method divides the brain space into many subspaces. Each subspace contains the neighborhood of one layer with fixed depth underneath the surface of the detectors. The requirement to the new method is that the brain sources in one subspace is independent with the brain sources in other subspaces in tespect of statistics. The new method further decreases the requirements for the brain sources, so its applicability is increased. This paper careful derivation of the method, proof of the results and discussion of the requirements of independence for the brain sources. This new method is also suitable for EEG.

Key words:Magnetoencephalography (MEG); Minimum norm; LP; Dipoles; Weight function

0引言

脑磁图(magnetoencephalography简称MEG)是在脑电图EEG之后，80年代发展起来的又一大脑研究和临床应用设备。由脑神经冲动产生的微小的磁场被头表面超导磁量子干涉仪(squid)^［1］探头测量到。基于这样测量来重建神经源冲动的位置和数值大小是现代科学的又一挑战。

脑磁图MEG要解决的问题包括：滤波、差值、正计算问题及源的定位问题。滤波是在时域或频域进一步提取必要的数据，滤去噪声^［2］。数据差值主要在空域由差值显示在脑皮层外表面探头测得的数据或其梯度或其Laplace算子的强弱^［3］。正计算问题有球模型的解析方法^［4］，边界元法和有限元法^［5］等数值方法。

脑磁图的源定位问题是根据测得的脑表面磁场寻求产生脑磁场的电流源的位置和大小。该问题类似于根据多台天线测得的无线电信号确定电台的位置。在此我们简述现有的定位方法。第一种是多偶极子搜索法^［1］，该方法以脑磁源电流偶极子计算所得的磁场和测得的磁场的均方误差为目标函数，调整偶极子的位置和极矩使该均方误差取最小。该法又分全局搜索和梯度类搜索法。全局搜索当所取的偶极子数目超过3个时计算量往往太大，难以得到计算结果。梯度搜索法一般只收敛到局部极值处。第二种方法是脑磁场测量信号SVD正交分解且进行单偶极子搜索^［6］。该方法假定脑磁源是许多孤立的偶极子源，且偶极子源之间在统计上是互相独立的，若脑磁源不满足上述假定，一般讲该方法失效。第三种是最小模法^［7］。最小模法在脑磁源存在的空间里按一定规律布置网格，每个网格的网点上固定两个或三个小的互相垂直电流偶极子源，这些小电流源恰好产生测得的磁场。满足上述条件的源分布有无数多种选择，其中在某种意义下的模取最小的源的分布是该方法的解。根据模的定义又分L2模法和L1模法。L2模法的解是连续分布的^{［4，8，9］}，即每个网格上都有一源存在，该方法的解与探头上各个通道的测量数据间的关系是线性的，可用广义逆的形式表示。L1模法的解是稀疏的^{［10～12］}，即只有个别几个网点上的源不为零。当模界于L2和L1模之间，其解也界于它们的解之间。其解与探头上各个通道的测量数据间的关系是非线性的，一般得用迭代方法求解^［11］。当模界于L1和L0之间时，其结果与L1模情况接近，仅在迭代的收敛速度和收敛性方面有所变化^［11］。各种最小模法在模的定义中有一权重因子由不同的归一化方法确定^{［2，11，13］}。不同的归一方法对应的解在源的深度方面是不同的。没有一种权重因子对各种不同深度的源都适用^［14］。第四种是在L1模方法基础上发展起来的三目标优化方法^［15］。在确定权重函数方面与上述各种规一化方法不同。该方法有三个目标函数，权重函数中含一组待定的参量，该参量对应脑磁源的深度。一个目标函数是L1模；一个为偶极子源计算所得的磁场和测得的磁场的均方误差；还有一个是偶极子源的数目。该方法要求偶极子源分布在脑空间内任意深度平行探头表面的一层附近，其深度可任意给定。改变其参量可在脑空间不同深度搜索脑磁源。若脑磁源分布在不同深度，一般地该方法失效。以上四种方法是在不同的要求或前提下工作因此各有局限性。寻找进一步放松要求的方法是脑磁源定位的关键。

本文将第二种方法中脑磁场测量信号SVD正交分解法同第四种方法三目标优化方法有机地结合起来构成一新方法。它将脑空间划分成几个子区域，每一区域在平行探头表面的一层附近。新方法仅要求每一区域内的脑磁源与其它区域内的源在统计上是互相独立的。而区域内的源允许是相关的。与上述第二种方法相比，新方法不再要求所有的源互相正交。与第四种方法相比，新方法允许脑磁源分布在不同的深度层内，只要各层的源与其它层的源是不相关的。新方法进一步放松了对脑磁源的要求，因此有更广泛的适用性。

1新方法

设探头各个通道测量到的磁场为H=［H₁，H₂…H_i…，H_M］^T。H_i为第i通道测得的沿线圈轴线方向磁场，M为探头的测量通道数目。考虑测得的磁场也是时间的函数，设磁场沿时间有T个采样点。H_i为T个元素的矢量，H为M×T阶矩阵。将脑磁源所在空间用某种网格划分，例如用方格划分，每一网点布置相互垂直的三个电流偶极子。偶极子强度为X=［X₁，X₂…X_j…X_N］^T，其中N是源的数目，X_j是第j个偶极子源的强度，则它也随时间变化，设时间抽样有T个点，它是T个元素的矢量。X为N×T阶矩阵。每个源X_j所在的位置在坐标x_j=(x_j,y_j,z_j)处。这些偶极子在探头测量通道线圈处的磁场可由正问题方法，例如有限元法^［5］计算出来，脑磁源和测量的磁场间关系可线性地表示为：

(1)

此处B为M×N阶矩阵，称为引导